UFES, Cálculo I, Lista 8, 2018.1, questão 6
Calcule , e seus respectivos domínios para .
Passo 1
Faaaaala, galeeeera! Tranquilo por aí?
Nessa questão vamos ter que obter as derivadas segunda e terceira da função. Temos uma função definida por partes. Note que vamos precisar derivar apenas quando , pois para não temos continuidade.
Além disso, você deve saber que se precisamos da derivada segunda e terceira vamos ter que derivar a função três vezes, beleza?
Como a função é um produto de outras duas funções, vamos usar a regra do produto!
Da regra do produto, temos
Ao derivar obtemos
Podemos agora simplificar
Passo 2
Calculando a derivada segunda a partir da derivada primeira, temos
Aplicando regra da cadeia
O resultado da derivação é
Reorganizando
O resultado então será
Passo 3
Ufaaaaa, depois de derivar esse monte ainda temos mais uma, mas vamos lá. Primeiro vamos reescrever
Vamos então derivar cada parte separadamente
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 4
Agora podemos juntar tudo, ok? Ambas as derivadas que calculamos
Separando e reorganizando
Por fim
Passo 5
Por fim, o domínio nada mais é que os valores que podem ser entrada da função, ou seja, quais valores pode assumir.
No caso de ambas as derivadas só não podemos ter o valor zero, pois teríamos divisão por zero, beleza?
Parabéns se chegou até aqui!
