Considere a função definida por

1. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de , caso existam.
2. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função , caso existam.
3. Utilize os itens anteriores para determinar qual dos dois números é maior: ou

Agora podemos estudar o sinal. Observe que o denominador não influencia no sinal pois é sempre positivo. Logo, temos que analisar apenas o denominador

Como o domínio da função é não teremos que nos preocupar com o caso de ser negativo e podemos afirmar que

Portanto, no final das contas, o que importa mesmo é descobrir quando é positivo ou negativo, pois esse é o único termo que influencia no sinal. Primeiro vamos ver quando esse termo se iguala a zero:

Agora vamos ver quando é negativo:

E positivo:

e a função é positiva e depois de fica negativa, como mostra a figura abaixo:

E com isso finalmente temos os intervalos de crescimento e decrescimento:

• Intervalo de crescimento:
• Intervalo de decrescimento:

b) Pra determinar os valores de máximo e mínimo da função temos que achar os pontos candidatos a serem máximo ou mínimo. No item (a) encontramos um desses pontos, o pois ele resultou da operação:

Mas tem ainda um outro ponto que precisa ser analisado. É o , pois ele é o extremo inicial do domínio.

Tendo os pontos candidatos, vamos fazer o Teste da Primeira Derivada, ou seja, analisar o sinal da derivada. Mas pera, a gente já não fez isso no item (a)? Sim! Então ficou fácil, é só usar as informações que já foram descobertas. Olha:

• Como a função cresce em , é um mínimo local de
• Como a função cresce em e decresce em , é um máximo local de

Só falta substituir os pontos de máximo e mínimo encontrados na função para saber quanto ela vale em cada um deles.

c) De acordo com o resultado do item anterior, sabemos que o valor máximo de é e só é atingido quando . Isso significa que

para todos os pertencentes ao domínio da função (exceto em , pois é onde a função se iguala a . Se usarmos essa desigualdade para a função em olha o que acontece: