- Mostre que a função
Possui um máximo absoluto em
Passo 1
Para ser máximo, o ponto deve ser crítico e a derivada tem que ser positiva à sua esquerda e negativa à sua direita. Para verificar isso, vamos derivar:
Passo 2
Verificamos se é ponto crítico:
A esquerda de , temos :
A direita de , temos :
É um ponto de máximo. Precisamos saber se é global.
Passo 3
Vai ser máximo global se for maior que outros pontos de máximo e maior que as fronteiras.
Não há outros pontos de máximo, pois, além de , só é ponto crítico. E não valores menores que para testar, uma vez que não fazem parte do domínio (ln de valores negativos).
Temos que testar as fronteiras.
E:
Podemos aplicar L’Hôpital:
Assim, não existem valores maiores que:
Esse é, portanto, um ponto de máximo global ou absoluto.
Resposta
Como queríamos demonstrar.