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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Enunciado

USP – Cálculo 1 – P2 – 2021.2

Encontre os pontos críticos da função f x = 2 x 3 - x 2 2 - x + 5

Classifique esses pontos críticos localmente, e diga se essa classificação também é global

ou não.

Passo 1

Opa galera, aqui quem fala é o Rodolpho e hoje vamos responder mais uma questãozinha de cálculo 1.

A questão te dá uma função e pergunta quais são os pontos críticos da função e para classificá-los em pontos de máximo, mínimo e inflexão.

Portanto, temos um probleminha de aplicação de derivadas.

Você lembra qual é a relação das derivadas com esse probleminha de ponto crítico?

boy não precisa ficar assim, vamos responder juntinhos, bele?

Primeiramente temos que a questão te deu a função, a próxima etapa é calcular os pontos críticos.

Os pontos críticos, são todos os pontos que realizam a seguinte igualdade:

d f d x x 0   = 0

Logo, o conjunto de todos os pontos x 0 na qual faz com que a derivada se anule é chamada de ponto crítico.

Ta ok.. mas como classificar isso né?

Carinha, para classificar não tem muito o que fazer não. Você precisa ir para a prova com a seguinte regrinha memorizada sobre a segunda derivada:

d 2 d x 2 f x 0 < 0 ,     x 0     é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o

d 2 d x 2 f x 0 > 0 , ��   x 0     é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o

Mas e se for 0? HAHHAHAHA é um ponto de inflexão, certinho?

Ahh lembrando que a regrinha de derivação de polinômios são as seguintes:

d d x a x 3 = a * 3 * x 3 - 1

d d x x 1 + x 2 = d d x x 1 + d d x x 2

E aí podemos começar? Vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular a derivada beleza?

d f d x = d d x 2 x 3 - x 2 2 - x + 5 = 3 * 2 * x 3 - 1 - 2 2 x 2 - 1 - x 1 - 1 + 0

Logo, temos que:

d f d x = 6 x 2 - x - 1

E para encontrar os pontos críticos precisamos igualar a 0 , portanto, temos que:

6 x 2 - x - 1 = 0

Utilizando a fórmula de Bhaskara temos que:

x = - ( - 1 ) ± ( - 1 ) 2 - 4 * 6 * ( - 1 ) 2 * 6 = 1 ± 25 12 = 1 ± 5 12

Logo temos que os pontos críticos são:

x 1 = 6 12 = 1 2

x 2 = - 4 12 = - 1 3

Passo 3

Agora vamos precisar calcular a segunda derivada para saber se os pontos críticos são máximos ou mínimos, belezinha? Então vamos lá.

Lá do cálculo sabemos que a derivada de segunda pode ser vista como a derivada da derivada de primeira ordem, transformando tudo em matemática, fica assim:

d 2 f d x 2 = d d x d f d x

Logo temos que:

d 2 d x 2 f = d d x 6 x 2 - x - 1 = 12 x - 1

E vamos encontrar o 0 da derivada de segunda para poder classificarmos os pontos, logo fazendo a derivada de segunda ordem igual a zero.

12 x - 1 = 0

Temos que o zero se localiza no seguinte valor:

x = 1 / 12

Analisando essa informação com os nossos pontos críticos, temos que:

- 1 3 < 1 12

Logo - 1 3 é um ponto de máximo, e consequentemente temos que:

1 2 > 1 12

Consequentemente 1 2 é um ponto de mínimo.

Como a nossa função ela se estende de infinito negativo a infinito positivo, então os extremos são os globais. Portanto, temos que:

x 1 = > m í n i m o   l o c a l

x 2 = > m á x i m o   l o c a l

Iae sacou tudinho?

Entendeu?

Responde Ai, vlwwwwwwwws e até mais

Resposta

x 1 = 1 2 = > m í n i m o   l o c a l

x 2 = - 1 3 = > m á x i m o   l o c a l

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