Seja f x = 3 x + cos ⁡ 2 x , para x ∈ I R . Qual dos seguintes pontos é ponto de máximo local de f ?

  1. - 11 π 6
  2. π 3
  3. 2 π 3
  4. 5 π 6
  5. 2 π 3

Passo 1

Bora lá galera. Olha só, pontos de máximo ou de mínimo são sempre pontos críticos. Portanto, pra achar todos os pontos críticos basta a gente derivar e igualar a zero, ok? Vamos lá, pela regra da cadeia, temos:

f ' x = 3 x + cos ⁡ 2 x '

f ' x = 3 - 2 sin ⁡ 2 x = 0

2 sin ⁡ 2 x = 3

sin ⁡ 2 x = 3 2

2 x = arcsin ⁡ 3 2

O arco cujo seno é 3 2 é um daqueles arcos de s e n , c o s , t g bem definidos! Então tá na mão! Olhando a tabela abaixo e o círculo trigonométrico, vemos que:

arcsin ⁡ 3 2 = π 3 + 2 π k π - π 3 + 2 π k ,     k = i n t e i r o

arcsin ⁡ 3 2 = π 3 + 2 π k 2 π 3 + 2 π k

Os pontos críticos vão ser então:

2 x = arcsin ⁡ 3 2

2 x = π 3 + 2 π k 2 π 3 + 2 π k

Passo 2

Pra saber se um ponto é de máximo ou mínimo, a gente pode usar um recurso interessante com a segunda derivada. Veja bem:

  • Se o ponto crítico x = c (que é raiz de f ' x ) está dentro de um intervalo de crescimento de f ' x , então antes de c , f ' x < 0 e depois de c , f ' x > 0 . De tal forma que f ' ' c > 0 , e logo c é um mínimo local.
  • Se o ponto crítico x = c (que é raiz de f ' x ) está dentro de um intervalo de decrescimento de f ' x , então antes de c , f ' x > 0 e depois de c , f ' x < 0 . De tal forma que f ' ' c < 0 , e logo c é um máximo local.

Veja esse exemplo:

Veja que o ponto crítico x = 0 se encontra num intervalo de decrescimento de f ' x , algo evidenciado pelo fato de a inclinação da reta tangente de f ' x em x = 0 , isto é, f ' ' 0 , ser menor que zero. Logo x = 0 é um máximo local. Veja também que o ponto crítico x = 2 se encontra num invervalo de crescimento de f ' x , algo evidenciado pelo fato de a inclinação da reta tangente de f ' x em x = 2 , isto é, f ' ' 2 , ser maior que zero. Logo x = 2 é um mínimo local.

Passo 3

Deu pra ver então que vamos precisar da segunda derivada! Fazendo ela, pela regra da cadeia, temos:

f ' ' x = 3 - 2 sin ⁡ 2 x '

f ' ' x = - 4 cos ⁡ 2 x

Opa, como os pontos críticos são:

2 x = π 3 + 2 π k 2 π 3 + 2 π k

x = π 3 + 2 π k 2 2 π 3 + 2 π k 2

Vamos notar que:

f ' ' π 3 + 2 π k 2 = - 4 cos ⁡ π 3 + 2 π k < 0

f ' ' 2 π 3 + 2 π k 2 = - 4 cos ⁡ 2 π 3 + 2 π k > 0

São pontos de máximo local então:

x = π 3 + 2 π k 2 = π 6 + π k = π 6 + 6 π k 6 = π 6 k + 1 6

Agora é só olhar nas respostas quais opções são possíveis de fazer pra escolhas de k inteiros. Note que se k = - 2

x = π - 12 + 1 6 = - 11 π 6

E prontinho! Fechamos a questão! A resposta vai ser a letra A !

Resposta

L e t r a   A

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)