3) Determine os valores de para que a função
Tenha um mínimo em
Passo 1
Partiu então. Pra ser um ponto de mínimo, vamos ter que fazer:
Afinal, pontos de mínimo são pontos críticos, isto é, são pontos onde a inclinação da reta tangente, expressa pela primeira derivada, é . Então o primeiro passo vai ser derivar essa função esperta:
Usando a regra do produto, temos:
Por fim, temos a primeira derivada:
Fazendo agora:
Ficamos com:
Vamos ignorar por enquanto a solução , ok? Dividindo os dois lados por , temos:
Dividindo os dois lados por , temos:
Passo 2
Ok, ainda não acabou porque falta o . Mas veja só,
Uma solução possível também para essa igualdade seria:
O que não faria muito sentido, uma fez que faria a função ser a constante , e constantes não tem ponto de mínimo. Se essa solução não tá valendo, o que eu faço com o ? Bem, se dado , nenhum que eu escolher altera a posição do ponto crítico, tenho que ficar de olho então pra quais valores de esse ponto crítico é um ponto de mínimo mesmo! Veja só:
Então apesar da escolha de não mudar a posição do ponto crítico, vai mudar o tipo de ponto crítico! As condições então são:
Resposta
possui ponto de mínimo em quando e