3) Determine os valores de a , b   ∈ I R para que a função

f x = a x   l n b x

Tenha um mínimo em x = e

Passo 1

Partiu então. Pra x = e ser um ponto de mínimo, vamos ter que fazer:

f ' e = 0

Afinal, pontos de mínimo são pontos críticos, isto é, são pontos onde a inclinação da reta tangente, expressa pela primeira derivada, é 0 . Então o primeiro passo vai ser derivar essa função esperta:

f ' x = a x   l n b x '

Usando a regra do produto, temos:

f ' x = a x l n b x ' + a x ' l n b x

f ' x = a x   1 b x b x ' + a   l n b x

f ' x = a x   b b x + a   l n b x = a + a   l n b x

Por fim, temos a primeira derivada:

f ' x = a   l n b x + 1

Fazendo agora: f ' e = 0

Ficamos com:

f ' e = a l n b e + 1 = 0

Vamos ignorar por enquanto a solução a = 0 , ok? Dividindo os dois lados por a , temos:

l n b e + 1 = 0

l n b e = - 1

b e = e - 1

Dividindo os dois lados por e , temos:

b = e - 2

Passo 2

Ok, ainda não acabou porque falta o a . Mas veja só,

f ' e = a l n b e + 1 = 0

Uma solução possível também para essa igualdade seria:

a = 0

O que não faria muito sentido, uma fez que faria a função ser a constante 0 , e constantes não tem ponto de mínimo. Se essa solução não tá valendo, o que eu faço com o a ? Bem, se dado b = e - 2 , nenhum a que eu escolher altera a posição do ponto crítico, tenho que ficar de olho então pra quais valores de a esse ponto crítico é um ponto de mínimo mesmo! Veja só:

Então apesar da escolha de a não mudar a posição do ponto crítico, vai mudar o tipo de ponto crítico! As condições então são:

a > 0

b = e - 2

Resposta

f x possui ponto de mínimo em x = e quando a > 0 e b = e - 2

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)