UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P2 - Prof. Jorge Delgado - 2023 - Verão, Questão 3c.
3(c) Use multiplicadores de Lagrange para achar possíveis pontos na fronteira de onde alcança valores extremos.
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema, estamos interessados em obter os valores máximos de nas bordas de e para isso foi dito para usarmos os multiplicadores de Lagrange.
Sabe como fazemos isso? 🤔
Usamos os multiplicadores de Lagrange quando temos que obter pontos de maximização em curvas que estão associadas a outras curvas.
Por exemplo, se , perceba que se ou , será igual a . Mas como se comporta na outra borda de ? No arco de raio .
Ou seja, temos que encontrar os pontos máximos de que estão associados a no primeiro quadrante.
Entendeu? Bora lá!
Passo 2
Vamos chamar de , a função
Então, aplicando o multiplicador de Lagrange associando e , temos
Derivando os dois lados para obter os pontos críticos, temos
Calculando as derivadas parciais de pelo método de derivada polinomial.
Fazendo o mesmo para
Substituindo na equação...
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Assumindo , temos que
Igualando os dois
Substituindo essa relação na terceira equação
E, portanto
Assim, vemos que um ponto extremo de nas bordas de é o ponto
E outro ponto extremo é quando e .
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
Ponto extremo