UFSC – Lista 3.6 – 2021.1 – P10
Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
- Todo ponto crítico é um ponto de máximo ou de mínimo local.
- Todo ponto de máxima ou mínimo local é um ponto crítico.
- Todo ponto de máximo absoluto é um ponto crítico.
- Se uma função não possui máximos e mínimos locais então ela não possui pontos críticos.
- Se é um ponto de máximo ou mínimo local e é diferenciável em , então é um ponto crítico.
- Se é um ponto de máximo ou mínimo local, é diferenciável em e é um ponto interior ao domínio de , então é um ponto crítico.
Passo 1
E aí, galerinhaaa! Bora relembrar de alguns conceitos importantes que o enunciado pede?
Primeiro, ponto crítico é aquele ponto onde a derivada será igual a zero e ocorre a mudança de direção da nossa curva. Por exemplo, vamos supor que nossa função está crescendo, crescendo, crescendo e aí ela chegou num ponto crítico, ou seja, depois desse ponto crítico, ela começará a ser decrescente.
Isso pode acontecer em vários pontos de uma função, entretanto, quando temos um ponto crítico onde ele tem o maior valor ou menor valor, chamamos de ponto de máximo e mínimo global, respectivamente. Por consequência, todos os outros pontos críticos serão ou de máximo ou mínimo local.
Com isso, bora explicar as questões propostas 😊
Passo 2
- Todo ponto crítico é um ponto de máximo ou de mínimo local
- Todo ponto de máxima ou mínimo local é um ponto crítico.
- Todo ponto de máximo absoluto é um ponto crítico.
- Se uma função não possui máximos e mínimos locais então ela não possui pontos críticos.
Isso é falso, porque como vimos, podemos ter vários pontos críticos em uma função e não necessariamente serão pontos de máximo e mínimo local sempre.
Verdadeiro, pois como vimos um ponto crítico sempre resultará ou em um ponto de máximo/mínimo local ou global.
Verdadeiro, pois todo ponto crítico resultará em um ponto de máximo/mínimo global ou local.
Falso, pois como dito no passo (1), podemos ter uma função que apresente apenas um ponto de máximo e/ou mínimos globais. Por exemplo, pegue uma parábola do tipo , sabemos que essa parábola terá concavidade para baixo, ou seja, apresentará apenas um ponto de mínimo e este será um ponto de mínimo global, não possuindo, portanto, um ponto de mínimo local.
A letra (e) e (f) podem ser respondidas juntas. A letra (e) e (f) é verdadeira e falsa, respectivamente. Uma vez que é um ponto de máximo ou mínimo local, necessariamente são diferenciáveis nesse ponto, caso contrário, teríamos uma descontinuidade e esse ponto não poderia ser chamado de máximo ou mínimo. Por sua vez, se for um ponto interior não poderá ser ponto crítico.
Resposta
𝐸xplicação