UFSC – 2018.1 – P1
Em relação à função
É incorreto afirmar que:
- não tem assíntota horizontal.
- tem exatamente um ponto crítico.
- é ponto de máximo local.
- é um ponto de inflexão .
- não tem assíntota oblíquas.
- não tem assíntotas verticais
- o domínio de é .
Não é necessário justificativa.
Passo 1
Fala ai, pessoal! Vamos testar opção por opção e ver quem está incorreto!
A primeira opção é avaliar se essa função tem ou não assíntota horizontal, para fazer isso temos que verificar se quando aplicamos limites aproximando de e , nós encontramos um valor de número real, então:
Como na função temos várias potências de , vamos colocar a maior delas em evidência:
Quando substituímos , encontramos:
Veja que não chegamos em um limite igual a um número real, logo não encontramos uma assíntota horizontal ainda, vamos tentar o limite pelo outro lado:
Usaremos a mesma técnica de colocar em evidência:
Mas dessa vez, ao substituirmos o valor de por , encontraremos um valor negativo:
Mesmo assim não encontramos um valor real para esse limite, logo não temos realmente nenhuma assíntota horizontal e a afirmativa é verdadeira!
Passo 2
A letra “b”, nos diz que tem exatamente um ponto crítico só, vamos analisar isso:
Para verificar o ponto crítico, vamos ter que derivar uma vez essa função:
O ponto crítico é onde a primeira derivada é igual a zero:
Quando igualamos:
Vamos usar Bhaskara para encontrar esses valores de :
Resolvendo isso:
Logo, realmente temos apenas um valor de que leva a primeira derivada ao valor igual a zero:
Logo, essa função tem apenas um ponto crítico e afirmativa está correta!
Passo 3
Analisando a letra “c”, ela nos afirma que é um ponto de máximo local, como podemos observar isso? Bem através da segunda derivada nesse ponto.
Se ela for maior que zero, então esse é um ponto de máximo, mas vamos começar calculando a segunda derivada. Temos que a primeira derivada é:
Logo, derivando novamente, encontraremos:
Substituindo o valor de por
Como não encontramos um valor nem menor nem maior que zero, então ele não é um ponto de máximo local, então a afirmativa é incorreta!
Resposta
Letra “c”