Seja f x = x 4 - 2 x 3 + x 2 .Determine, justificando:

(a)As regiões de crescimento e decrescimento de f

(b) Os pontos de máximo e mínimo globais, se houver

(c)Os pontos de máximo e mínimo locais, se houver

(d) As regiões de concavidade de f

Passo 1

(a) Obter os intervalos de crescimento e decrescimento de f

Questões desse tipo tem uma caaara de questões que usam teste das derivadas, não é mesmo? E não é a toa, porque vamos usar exatamente esse artifício. Guarda na cachola: a primeira derivada dá a inclinação da reta tangente. Então a função é crescente quando a primeira derivada é maior que 0 e decrescente quando menor que 0 . Opa, tranquilo então, vamos derivar:

f ' x = x 4 - 2 x 3 + x 2 '

f ' x = 4 x 3 - 6 x 2 + 2 x  

Pra saber os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos ter que ficar ligados nas raízes da derivada, ok? Vamos achar então: f ' x = 4 x 3 - 6 x 2 + 2 x = 0

x 4 x 2 - 6 x + 2 = 0

Daí a gente consegue ver que x = 0 é uma das três soluções do polinômio! Magavilha, mas e os outros dois? Oras, os outros dois a gente tira por Bhaskara usando:

4 x 2 - 6 x + 2 = 0

2 x 2 - 3 x + 1 = 0

x = 3 ± - 3 2 - 4.2 . 1 2.2

x = 3 ± 1 4

x = 1   o u   x = 1 2

Maravilha, achamos as raízes! Agora temos que ver como a função de comporta em intervalos que envolvam elas, beleza? Então os intervalos vão ser:

x < 0

0 < x < 1 2

1 2 < x < 1

x > 1

Eita, 4 intervalos! Paciência, vamos ter que testar cada um. Pro primeiro, x < 0 , vamos usar x = - 1 . A inclinação da reta tangente vai ser:

f ' - 1 = 4 . - 1 3 - 6 . - 1 2 + 2 . - 1 =   - 12

Pro segundo, 0 < x < 1 2 , vamos testar com x = 1 4 :

f ' 1 4 = 4 . 1 4 3 - 6 . 1 4 2 + 2 . 1 4 = 3 16

Para o terceiro, 1 2 < x < 1 , vamos testar x = 3 4 :

f ' 3 4 = 4 . 3 4 3 - 6 . 3 4 2 + 2 . 3 4 = - 3 16

E pro último, x > 1 , vamos testar x = 2

f ' 2 = 4 . 2 3 - 6 . 2 2 + 2 . 2 = 12

Show de bola, testamos tudo. Resumindo, temos:

f ' x = < 0   ,     x < 0   > 0 ,     0 < x < 1 2 < 0 ,     1 2 < x < 1 > 0 ,     x > 1

Bem, já que é assim, isso é o mesmo que dizer:

f x = d e c r e s c e n t e   ,     x < 0   c r e s c e n t e   ,     0 < x < 1 2 d e c r e s c e n t e   ,     1 2 < x < 1 c r e s c e n t e   ,     x > 1

Passo 2

(b) e (c) Obter os pontos de máximo e de mínimo

Pode parecer que complicou agora, mas relaxa! Já fizemos a maior parte do trabalho! Vamos lembrar do seguinte: ponto crítico é todo ponto c , f c que satisfaça:

f ' c = 0

E eles podem ser classificados como pontos de máximo, mínimo e de inflexão. Beleza, mas como eu diferencio? Pra diferenciar, temos que lembrar que:

E o ponto crítico é de inflexão se não for nenhum desses dois. A notícia boa é que pra achar os pontos críticos basta derivar f x e igualar a 0 , algo que já fizemos! Sendo assim, com as raízes da derivada foram:

x = 0

x = 1 2

x = 1

Os pontos críticos serão:

0 , f 0

1 2 , f 1 2

1 , f 1

Onde:

f 0 = 0 4 - 2 . 0 3 + 0 2 = 0

f 1 2 = 1 2 4 - 2 . 1 2 3 + 1 2 2 = 1 16

f 1 = 1 4 - 2 . 1 3 + 1 2 = 0

Agora pra classificar esses pontos aí, tudo que precisamos é lembrar do sinal da derivada. Pro primeiro ponto 0,0 , vamos lembrar que:

f ' - 1 =   - 12

f ' 1 4 = 3 16

Pro segundo ponto, 1 2 , 1 16 , vamos lembrar que:

f ' 1 4 = 3 16

f ' 3 4 = - 3 16

E pro último ponto, 1,0 , vamos lembrar que:

f ' 3 4 = - 3 16

f ' 2 = 12

Então podemos classificar agora cada um dos pontos críticos como:

0,0 - P o n t o   d e   M í n i m o

1 2 , 1 16 → P o n t o   d e   M á x i m o

1,0 → P o n t o   d e   M í n i m o

Ok, mas não ta esquecendo de nada não? Os pontos globais? Ata, faltam sim. MAAAAS, não se desespere! Como os pontos máximos e mínimos globais são os maiores valores que a função alcança, tudo que a gente precisa fazer é ver se essa função está limitada a um valor maior ou menor que os pontos que encontramos anteriormente. E o nome disso é: fazer o limite! Beleza, então vamso lá:

lim x → + ∞ ⁡ f x =   lim x → + ∞ ⁡ x 4 - 2 x 3 + x 2 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x =   lim x → - ∞ ⁡ x 4 - 2 x 3 + x 2 = + ∞

Então os pontos globais encontrados são os únicos pontos de máximo e de mínimo da função. Show de bola, respondida as letras b e c

Passo 3

(d)Ver a concavidade

Calma que ta acabando. Pra gente falar da concavidade da função, temos que agora fazer outro teste: dessa vez o da segunda derivada. Pra refrescar a memória, da uma lida aqui:

Beleza, então a primeira coisa que vamos fazer é derivar de novo. Começando:

f ' ' x =   f ' x ' = 4 x 3 - 6 x 2 + 2 x '

f ' ' x = 12 x 2 - 12 x + 2  

Eita, outra vez vamos ter que ver raízes de função. Tio Bhaskara pelo menos nunca falha com a gente, então vamos usar sua fórmula:

f ' ' x = 12 x 2 - 12 x + 2 = 0

6 x 2 - 6 x + 1 = 0

x = 6 ± - 6 2 - 4.6 . 1 2.6

x = 6 ± 12 12

x = 3 + 3 6 ≅ 0,79   e   x = 3 - 3 6 ≅ 0,21

Vamos ter que analisar os seguintes intervalos então:

x < 3 - 3 6

3 - 3 6 < x < 3 + 3 6

x > 3 + 3 6

Pro primeiro intervalo, vamos usar de teste x = 0 . Vamos ter então:

f ' ' 0 = 12 . 0 2 - 12.0 + 2 = 2

Pro segundo intervalo, vamos usar de teste x = 0,5 . Vamos ter então:

f ' ' 0,5 = 12 . 0,5 2 - 12.0,5 + 2 = - 1

E pro último intervalo, vamos usar de teste x = 1 . Vamos ter então:

f ' ' 1 = 12 . 1 2 - 12.1 + 2 = 2

Show de bola, testamos tudo. Resumindo, temos:

f ' ' x = > 0 ,     x < 3 - 3 6 < 0 ,     3 - 3 6 < x < 3 + 3 6 > 0 ,     x > 3 + 3 6

Bem, já que é assim, isso é o mesmo que dizer:

f ' ' x = c ô n c a v o   p r a   c i m a ,     x < 3 - 3 6 c ô n c a v o   p r a   b a i x o ,     3 - 3 6 < x < 3 + 3 6 c ô n c a v o   p r a   c i m a ,     x > 3 + 3 6

Resposta

a) f x = d e c r e s c e n t e   ,     x < 0   c r e s c e n t e   ,     0 < x < 1 2 d e c r e s c e n t e   ,     1 2 < x < 1 c r e s c e n t e   ,     x > 1

b e d) 0,0 → P o n t o   d e   M í n i m o 1 2 , 1 16 → P o n t o   d e   M á x i m o 1,0 → P o n t o   d e   M í n i m o   ;             s e m   p o n t o s   g l o b a i s

d) f ' ' x = c ô n c a v o   p r a   c i m a ,     x < 3 - 3 6 c ô n c a v o   p r a   b a i x o ,     3 - 3 6 < x < 3 + 3 6 c ô n c a v o   p r a   c i m a ,     x > 3 + 3 6

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
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