Seja .Determine, justificando:
(a)As regiões de crescimento e decrescimento de
(b) Os pontos de máximo e mínimo globais, se houver
(c)Os pontos de máximo e mínimo locais, se houver
(d) As regiões de concavidade de
Passo 1
(a) Obter os intervalos de crescimento e decrescimento de
Questões desse tipo tem uma caaara de questões que usam teste das derivadas, não é mesmo? E não é a toa, porque vamos usar exatamente esse artifício. Guarda na cachola: a primeira derivada dá a inclinação da reta tangente. Então a função é crescente quando a primeira derivada é maior que e decrescente quando menor que . Opa, tranquilo então, vamos derivar:
Pra saber os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos ter que ficar ligados nas raízes da derivada, ok? Vamos achar então:
Daí a gente consegue ver que é uma das três soluções do polinômio! Magavilha, mas e os outros dois? Oras, os outros dois a gente tira por Bhaskara usando:
Maravilha, achamos as raízes! Agora temos que ver como a função de comporta em intervalos que envolvam elas, beleza? Então os intervalos vão ser:
Eita, 4 intervalos! Paciência, vamos ter que testar cada um. Pro primeiro, , vamos usar . A inclinação da reta tangente vai ser:
Pro segundo, , vamos testar com :
Para o terceiro,, vamos testar :
E pro último, , vamos testar
Show de bola, testamos tudo. Resumindo, temos:
Bem, já que é assim, isso é o mesmo que dizer:
Passo 2
(b) e (c) Obter os pontos de máximo e de mínimo
Pode parecer que complicou agora, mas relaxa! Já fizemos a maior parte do trabalho! Vamos lembrar do seguinte: ponto crítico é todo ponto que satisfaça:
E eles podem ser classificados como pontos de máximo, mínimo e de inflexão. Beleza, mas como eu diferencio? Pra diferenciar, temos que lembrar que:
E o ponto crítico é de inflexão se não for nenhum desses dois. A notícia boa é que pra achar os pontos críticos basta derivar e igualar a , algo que já fizemos! Sendo assim, com as raízes da derivada foram:
Os pontos críticos serão:
Onde:
Agora pra classificar esses pontos aí, tudo que precisamos é lembrar do sinal da derivada. Pro primeiro ponto , vamos lembrar que:
Pro segundo ponto, , vamos lembrar que:
E pro último ponto, , vamos lembrar que:
Então podemos classificar agora cada um dos pontos críticos como:
Ok, mas não ta esquecendo de nada não? Os pontos globais? Ata, faltam sim. MAAAAS, não se desespere! Como os pontos máximos e mínimos globais são os maiores valores que a função alcança, tudo que a gente precisa fazer é ver se essa função está limitada a um valor maior ou menor que os pontos que encontramos anteriormente. E o nome disso é: fazer o limite! Beleza, então vamso lá:
Então os pontos globais encontrados são os únicos pontos de máximo e de mínimo da função. Show de bola, respondida as letras e
Passo 3
(d)Ver a concavidade
Calma que ta acabando. Pra gente falar da concavidade da função, temos que agora fazer outro teste: dessa vez o da segunda derivada. Pra refrescar a memória, da uma lida aqui:
Beleza, então a primeira coisa que vamos fazer é derivar de novo. Começando:
Eita, outra vez vamos ter que ver raízes de função. Tio Bhaskara pelo menos nunca falha com a gente, então vamos usar sua fórmula:
Vamos ter que analisar os seguintes intervalos então:
Pro primeiro intervalo, vamos usar de teste . Vamos ter então:
Pro segundo intervalo, vamos usar de teste . Vamos ter então:
E pro último intervalo, vamos usar de teste . Vamos ter então:
Show de bola, testamos tudo. Resumindo, temos:
Bem, já que é assim, isso é o mesmo que dizer:
Resposta
a)
b e d)
d)