Esboço de Curvas
Seja
- Determine o domínio de
- Explique porque a função é ímpar
- Determine os extremos locais de . (Abscissa e Ordenada) Identificando se eles são máximos ou mínimos. São Globais? Porque?
- Calcule os limites das extremidades de todos os intervalos que compõem o domínio
Passo 1
Repara que temos uma função arco tangente ali dentro do seno, essa função existe para qualquer valor de , e a função seno também, então não temos restrições nenhumas para a existência de o domínio vão ser os reais
Passo 2
Temos que fazer e ver se isso vai ser se for, ela é ímpar, se não por ela não é.
A primeira coisa que precisamos saber é que
Então vamos ter
A mesma coisa se aplica na função seno,
Então
Mas então
E a função é ímpar.
Passo 3
Antes de qualquer coisa vamos fazer os limites nas extremidades, isso porque no item ele pede se os extremos são globais ou não e precisamos saber esses limites para poder afirmar isso
Um detalhezinho, para onde vai a função quando ? Você lembra?
Aqui vai uma ajuda, essa função vai ser assim, quando queremos o limite no infinito
Beleza?
Voltando ao limite
Como a função seno é contínua vamos ter
Vamos ao outro limite, agora indo para
Então temos
Passo 4
Vamos ver os extremos, para isso devemos que derivar essa função e depois igualar ela a , vamos para a derivada, para isso vamos usar a regra da cadeia
Lembrando que a derivada de é
Passo 5
Vamos igualar isso a agora
Sabemos que temos zilhões de ângulos que servem, isso porque a função cosseno é periódica. Vamos olhar o que está dentro da função cosseno, a imagem da função arco tangente varia de à , como temos a imagem vai ser de à , então não tem porque pegarmos valores de ângulos fora desse invervalo.
Os ângulos que tem cosseno iguais a , e que estão nesse intervalo são e ,
Vamos ter
Isso que dizer que
Além disso, vamos ao outro valor
Isso que dizer que
Temos que ver os sinais da derivada desse cara para entender como funciona essa zona.
Passo 6
Vamos analisar o sinal dessa derivada, para aplicarmos o teste da derivada primeira.
Estudar o sinal dessa parada é meio complicado, então vamos aplicar o teste da derivada segunda. Como usamos esse teste? Vamos fazer a segunda derivada desse cara, se o valor da derivada for negativo é um ponto de máximo se for positivo ele é um ponto de mínimo.
Para essa derivada vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia naquele cosseno com arco tangente dentro, que nem fizemos ali em cima para a primeira derivada
Podemos simplicar essas paradas
Passo 7
Vamos testar os valores, primeiro com
Então quando é um ponto de máximo local.
Passo 8
Vamos testar agora
Então quando é um ponto de mínimo local.
Passo 9
Vamos achar os pontos, isso mesmo achar os pontos, só temos o valor de desse camarada
O ponto é de máximo local.
O ponto é de mínimo local.
Lembra que eu descobri quais eram os limites no infinito da função antes? Quando o limite no infinito é menor que o valor de máximo local, e a função não tem assíntotas verticais podemos dizer que o máximo local é global. A mesma coisa falamos do mínimo local, então os dois pontos são extremos globais.
O ponto é de máximo global.
O ponto é de mínimo global.
Resposta
- O ponto é de máximo global.
O ponto é de mínimo global.