1.
d. Existe uma função contínua em com máximo local no ponto ?
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Antes de tudo, precisamos entender que ponto é esse!
Um ponto de máximo é um ponto na função que é maior que os pontos próximos a ele. Em um gráfico, é como se tivéssemos o topo de uma colina. Já um ponto de mínimo é justamente o contrario, podemos pensar que ele tem a forma de um buraco.
E como sabemos se uma função não terá um máximo ou mínimo?
Repara que no gráfico acima possui uma reta azul, nos pontos de máximo e mínimo, que representa a reta tangente ao ponto. Se a gente olhar com calma, vamos perceber que tanto pra pontos de máximo quanto pra pontos de mínimo a reta tangente à eles é horizontal, ou seja, o coeficiente angular delas é zero.
Lembra que o coeficiente angular da reta tangente a um ponto é justamente a derivada da curva naquele ponto? Opaaa, então a gente acabou de chegar a conclusão de que para pontos de máximo e mínimo, a derivada da curva é nula naquele ponto.
Passo 2
Galerinha, então, respondendo a pergunta: precisamos pensar em uma função cuja o perfil tenha um máximo.
Uma função clássica que possui divermos máximos e mínimos é a função cosseno. Podemos pensar nela como exemplo:
Sua derivada será,
Igualando a zero, temos que
Onde, é qualquer número inteiro.
Ou seja, nos pontos teremos um ponto de máximo. Mas o problema pede que esse ponto de máximo seja igual a .
Se pensarmos em pontos arbitrários para o intervalo onde, e , temos que será,
Opaa, temos que pode ser um máximo, pois a função zera nesse ponto. Logo a resposta é sim!
Resposta
Sim