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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Enunciado

Determine, com justificativa, os pontos de máximo e mínimo absolutos da função

f t = 2 sen ⁡ t + cos ⁡ 2 t

no intervalo 0 , π 2 , e calcule os valores máximo e mínimo respectivos.

Passo 1

Eu ouvi máximos e mínimos? Então vamos derivar e igualar a zero!

A derivada da f é:

f ' t = 2 cos ⁡ t + - sen ⁡ 2 t . 2

⇒ f ' t = 2 cos ⁡ t - 2 sen ⁡ 2 t

Passo 2

Zerando essa derivada:

f ' t = 2 cos ⁡ t - 2 sen ⁡ 2 t = 0

2 cos ⁡ t = 2 sen ⁡ 2 t

cos ⁡ t = sen ⁡ 2 t

Vai facilitar nossa vida lembrar dessa identidade trigonométrica aqui:

sen ⁡ 2 t = 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

Daí a equação vai ficar:

cos ⁡ t = 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

Logo,

cos ⁡ t = 0     o u   2 sen ⁡ t = 1 → sen ⁡ t = 1 2

Passo 3

Como estamos no intervalo 0 , π 2 , isso vai dar:

cos ⁡ t = 0 → t = π 2

sen ⁡ t = 1 2 → t = π 6

Esses são os pontos críticos de f no intervalo. E temos

f π 2 = 2 sen ⁡ π 2 + cos ⁡ π = 2 - 1 = 1

f π 6 = 2 sen ⁡ π 6 + cos ⁡ π 3 = 1 + 1 2 = 3 2

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, falta ver as fronteiras do intervalo 0 , π 2 .

Mas na verdade já vimos t = π 2 , porque ele é um ponto crítico. Então faltou só t = 0 mesmo:

f 0 = 2 sen ⁡ 0 + cos ⁡ 0 = 0 + 1 = 1

Passo 5

Resumindo, temos 3 candidatos a pontos de máximo ou mínimo globais de f no intervalo: t = 0 ,   t = π 6 e t = π 2 . E vimos que

f 0 = f π 2 = 1

f π 6 = 3 2

Portanto, t = 0 e t = π 2 são os pontos de mínimo global e t = π 6 é o ponto de máximo global. O valor mínimo é 1 e o valor máximo é 3 2 .

Resposta

Pontos de mínimo global:

t = 0     e     t = π 2

Valor mínimo:

1

Ponto de máximo global:

t = π 6

Valor máximo:

3 2

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