Localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funções nos intervalos dados:
Passo 1
Entender o que o enunciado pede
O truque pra essa questão vai estar sempre na inclinação da reta tangente, beleza? Se a inclinação for nula, temos um ponto de máximo, mínimo ou de inflexão. Como a primeira derivada nos fornece essa inclinação, vamos derivar:
Mas não para por ai. Ao fazermos , podemos encontrar valores de fora do intervalo do enunciado! Então cuidado que esses a gente vai ter que retirar. E mais cuidado ainda porque as extremidades do intervalo podem ser importantes. Vamo que vamo então:
Passo 2
Encontrar raízes de e excluir as fora do intervalo
Agora, vamos dar uma olhada nas raízes da primeira derivada. Se a raiz é quando a função zera, então vamos ter:
Caraca, essa igualdade assusta um pouco, não é mesmo? A gente vai ter que modificar ela pra poder tirar alguma conclusão. E, como existe uma expressão pro cosseno de um arco duplo:
A gente iguala então e fica com:
E aqui que vem a maldade da questão, a substituição ! Se fizermos isso, nossa equação se transforma em:
E isso agora tem uma cara mais familiar, não é? Vamos então achar as raízes de
E logo:
Fazendo o arcosseno:
Usando uma aproximação pra , temos as seguintes aproximações:
Eita, são infinitos pontos ! E agora? Caaalma jovem gafanhoto, lembra que o intervalo é ? Então vamos excluir todos os pontos fora desse intervalo. Vamos lá então:
Os valores cortados então estão fora do intervalo. Por fim, vamos considerar somente os pontos:
Ou, os mesmos valores, só que sem substituir o :
E checando o valor da função:
Para cada um dos valores de acima vamos ter:
Disso, tiramos os pontos críticos de , no intervalo dado, que são:
Passo 3
Testar as extremidades
As extremidades tem que ser consideradas também. Se esquecermos delas pode dar ruim na prova, e ninguém quer isso né? Então vamos lá:
Em forma de ponto, temos:
Olhando pros pontos obtidos no passo anterior também, temos:
O maior valor de entre esses pontos é , e o menor é . Como, nesse caso, tem mais de um ponto que alcança os mesmos valores máximos e mínimos de , podemos considerar todos eles como pontos de extremo absoluto. Fechamos aqui então essa questão, bora pra próxima!