Considere a função , definida no intervalo . Determine, se possível, os valores máximo e mínimo locais e absolutos de no intervalo , justificando para isto suas afirmações.
Passo 1
Vamos começar procurando os pontos críticos da .
Usando a regra da cadeia, a derivada da vai ser:
Igualando a derivada a zero:
Pra esse quociente dar zero, o numerador tem que valer zero:
Então só tem um ponto crítico, em . E o valor da função nesse ponto é:
Passo 2
Agora vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo local.
Pra isso, vamos estudar o sinal da derivada nos intervalos e .
Em , temos:
Logo, no intervalo todo, a derivada é negativa.
Podemos ainda conferir que
Então no intervalo a derivada é positiva.
Daí segue, pelo teste da primeira derivada, que o ponto crítico é um ponto de mínimo local.
Passo 3
Agora, pra determinar os extremos absolutos de no intervalo , temos que testar as fronteiras desse intervalo, isto é, os pontos e .
Em :
Em :
Passo 4
Resumindo, temos 3 candidatos a extremos absolutos no intervalo, os pontos:
O ponto vimos que é um mínimo local. Repara que
Portanto, o ponto é o ponto de mínimo absoluto.
E , então o ponto , é o máximo absoluto.
E o coitado do ponto não é absolutamente nada :/
Resposta
Mínimo absoluto (e local):
Máximo absoluto: