Considere o polinômio , onde e são constantes reais. É possível determinar valores para e tais que o gráfico de tem um ponto de máximo local quando e um ponto de inflexão quando ?
Passo 1
O que significa matematicamente para um gráfico de polinômio ter um máximo local? E um ponto de inflexão? Lembra, os máximos locais são pontos onde a derivada muda de sinal, o que significa que neles a derivada é nula ou não existe no ponto. Nos pontos de inflexão quem é nula ou não existe é a derivada segunda.
Basicamente, o que a questão nos fala é que ela quer:
Passo 2
E como é a equação de e de ? Vamos derivar para descobrir!
Passo 3
Substituindo os pontos que a questão falou:
Agora basta resolver o sistema que esses caras geraram:
Passo 4
Se for um máximo, a derivada é positiva antes e negativa depois. Sendo assim, vamos descobrir os pontos em que a derivada é nula!
Como nada mais é do que uma função do 2º grau, nós podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para calcularmos suas raízes. Começando pelo , temos:
Aplicando o valor que descobrimos para na segunda parte da fórmula:
Como a concavidade é para baixo, a derivada será positiva entre -1 e 3 e negativa para e . Então, é um ponto de mínimo!
Resposta
Portanto, não é possível.