Seja f derivável e suponha que o gráfico da derivada f ' seja dado por:

Considere as seguintes afirmações:

  1. A função f tem um mínimo local em x = 2 e um máximo local em x = 4 .
  2. O gráfico de f côncavo para baixo em x = 0 .
  3. A função f tem um ponto de inflexão em x = 3.5 .

Então:

  1. Apenas as afirmações (I) e (III) estão corretas.
  2. Apenas as afirmações (II) e (III) estão corretas.
  3. Apenas as afirmações (I) e (II) estão corretas.
  4. Todas as afirmações estão corretas.
  5. Apenas a afirmação (I) está correta.

Passo 1

A primeira coisa a notar aqui é que o gráfico é da derivada da função e a pergunta é sobre a função! Então temos que ter bastante cuidado com isso.

O gráfico da derivada, porém, já nos dá bastante informação, é só lembrar que a derivada é a taxa de variação da função.

Então vamos lá, analisando cada uma das afirmações. Pela afirmação (I) a função tem um mínimo em x = 2 . Para que isso seja verdade, precisamos que x = 2 seja um ponto critico e que a derivada seja negativa à esquerda e positiva à direita deste ponto.

Observando o gráfico, percebemos que é de fato um ponto crítico, pois a derivada vale zero nesse ponto e também é ponto de mínimo, pois a derivada é negativa à esquerda e positiva à direita.

Outra parte da afirmação é que x = 4 é um ponto de máximo. Ele já é um ponto crítico, pois a derivada é zero nesse ponto, também será um ponto de máximo pois a derivada é positiva à esquerda e negativa à direita.

Logo, concluímos que a afirmação (I) é verdadeira!

Passo 2

Vamos para afirmação (II). Para que seja verdade, precisamos que o gráfico de f seja côncavo para baixo em x = 0 . Para que seja côncavo para baixo, precisamos que a segunda derivada seja negativa.

Ué, mas o gráfico aí é da primeira derivada!! Calma, jovem. Só lembrar que a segunda derivada é a taxa de variação da primeira. Repara alí que em x = 0 , a derivada está crescendo, logo sua variação é positiva é f ' ' > 0 . Dessa maneira, será côncava para cima e a afirmação (II) é falsa!

Passo 3

Vamos para última agora, Para que (III) seja verdadeira, precisamos que a função f tenha um ponto de inflexão em x = 3.5 . O ponto de inflexão ocorre onde a função muda de concavidade.

Veja que a derivada está crescendo à esquerda desse ponto, logo f será côncava para cima e está decrescendo para valores à direita de x = 3 . 5 , logo será f será côncava para baixo aí. Dessa maneira, houve uma troca de concavidade e x = 3 . 5 é um ponto de inflexão bem simpático.

Assim, concluímos que a afirmação (III) é verdadeira e a resposta correta é a alternativa (a)!

Resposta

Alternativa (a).

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
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Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)