UFABC – Cálculo 1 – Lista 4 – 10a
Encontre os valores máximos e mínimos globais de f (se existirem) no intervalo dado:
Passo 1
Para saber se há valores máximos e mínimos em uma função, vamos primeiro precisar derivar nossa função e igualar a zero, pois isso nos garante que teremos encontrado os pontos de inflexão da nossa função, mas não necessariamente isso implicará em termos um ponto de máximo e mínimo global. Então como a gente vai verificar isso? Bem, vamos precisar além de testar o valor do ponto crítico (quando derivamos a igualamos a zero), vamos precisar testar valores de nos extremos do intervalo.
Passo 2
Vamos derivar a nossa função e igualar a zero.
Com o resultado da primeira derivada encontramos um ponto crítico em , e, portanto, iremos avaliar a função neste ponto.
Para é negativa
Para é negativa
Passo 3
Vamos agora analisar termo a termo pra ver o que acontecerá!
Pra isso, vamos fazer um quadro de sinais com a derivada primeira da função encontrada no passo 2.
Vamos avaliar então:
Estamos avaliando essa função em alguns pontos. Note que para qualquer que seja o valor de não podemos avaliar, pois teríamos um inexistente, portanto, essa já é uma restrição da nossa derivada, certo? Ela só existirá para .
Note que para valores de , temos que a derivada vai ter mudança de sinal, vai passar de positivo para negativo, indicando que temos ali uma região decrescente, pois é como se a função estivesse crescendo.
E acima de , temos a função sempre crescente. Logo, temos que