3(d) Determine os valores extremos absolutos de f em D .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos os valores extremos absolutos de f em D .

Como resolvemos isso? 👀

Vimos anteriormente que D é a região do arco de circunferência de raio 3 centrado na origem e que f possui apenas um ponto cr��tico, que está localizado em 0,0 e nenhum ponto no interior da região.

Além disso vimos que o ponto 3 , 6 é um ponto extremo de f que está sob o limite da região delimitada pelo arco.

E agora o que nos resta é descobrir qual desses pontos é o de máximo e qual é o de mínimo.

Bora lá!

Passo 2

Começando pelo ponto 0,0 .

Se f x , y = x y 2 , então

Substituindo essas coordenadas em f , temos

f 0,0 = 0 · 0 2

f 0,0 = 0

Agora fazemos o mesmo para o ponto 3 , 6

f 3 , 6 = 3 · 6 2

f 3 , 6 = 6 3

Portanto, vemos que o ponto 0,0 é o ponto de mínimo e o ponto 3 , 6 é o ponto de máximo!

Porém como f é crescente para x e y positivos (podemos ver isso a partir das derivadas de f ∂ f ∂ x = y 2 , ∂ f ∂ y = 2 x y ), f tende a para x e y muito grandes, logo, f não tem pontos extremos absolutos.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Não há pontos extremos absolutos.

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