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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Enunciado

Dada a função

f x = x 4 - 2 x 2 - 8

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, concavidade, os pontos x de inexpressão e os pontos x de máximo e mínimo.

Passo 1

Encontrar a primeira derivada

Esse tipo de questão sempre vai pedir da gente o teste da primeira derivada, beleza? Guarda na cachola isso porque pra acharmos tudo que a questão pede, temos que saber o comportamento da reta tangente a curva ao longo da curva. E como a primeira derivada nos da a inclinação da reta tangente, partiu derivar:

f ' x = d   x 4 - 2 x 2 - 8 d x

f ' x = 4 x 3 - 4 x

Passo 2

Achar os pontos críticos

Pontos críticos são todos os pontos em que a primeira derivada é nula. Sendo assim, temos que fazer:

f ' x = 4 x 3 - 4 x = 0

Logo de cara, conseguimos ver que x = 0 é uma solução. As outras soluções encontramos fazendo:

4 x 3 - 4 x = 0

4 x 3 = 4 x

x = ± 1

Show de bola, encontramos as raízes da primeira derivada. Usando esses valores de x na função original, vamos ter:

f 0 = 0 4 - 2 0 2 - 8 =   - 8

f 1 = 1 4 - 2 . 1 2 - 8 =   - 9

f - 1 = - 1 4 - 2 - 1 2 - 8 =   - 9

Os pontos críticos vão ser então:

0 , - 8

1 , - 9

- 1 , - 9

Passo 3

Classificar os pontos críticos

Pra gente saber se um ponto crítico é de mínimo, máximo ou de inflexão, temos que lembrar que:

E se nenhum dos dois aplicar, ai no caso temos um ponto de inflexão, beleza? Então vamos assumir que δ = 0,1 por exemplo e checar os pontos. Pro ponto 0 , - 8 , temos:

f ' - 0,1 =   0,4

f ' 0,1 =   - 0,4

Pro ponto 1 , - 9 , temos:

f ' 0,9 = - 0,68

f ' 1,1 =   0,92

Pro ponto - 1 , - 9 , temos:

f ' - 1,1 = - 0,68

f ' - 0,9 =   0,92

Portanto, vamos ter que:

0 , - 8 → P o n t o   d e   m á x i m o

1 , - 9 → P o n t o   d e   m í n i m o

- 1 , - 9 → P o n t o   d e   m í n i m o

Passo 4

Achar os intervalos de crescimento e decrescimento

Crescimento e decrescimento tem tudo a ver também com a inclinação da reta tangente! Afinal, desde a invenção da pipoca de microondas, quando a inclinação é negativa, a função é decrescente e quando é positiva, a função é crescente. Então vamos olhar bem para:

f ' x = 4 x 3 - 4 x

Com as raízes

x = 0 1 - 1

Vamos ver então o que acontece em intervalos que envolvam as raízes. Isto é:

x < - 1

- 1 < x < 0

0 < x < 1

x > 1

No primeiro intervalo, vamos pegar qualquer x < - 1 . Por exemplo, x = - 1,1

f ' - 1,1 = - 0,68

No segundo intervalo, vamos pegar qualquer - 1 < x < 0 .Por exemplo, x = - 0,9

f ' - 0,9 =   0,92

No terceiro intervalo, vamos pegar qualquer 0 < x < 1 .Porexemplo, x = 0,9

f ' 0,9 = - 0,68

No quarto intervalo, vamos pegar qualquer x > 1 .Porexemplo, x = 1,1

f ' 1,1 =   0,92

Analisando os resultados e seus sinais, a gente chega a conclusão que:

f x = c r e s c e n t e   ,     s e   - 1 < x < 0 x > 1

f x = d e c r e s c e n t e   ,     s e   0 < x < 1     x < - 1

Passo 5

Analisar a concavidade

Pra analisar a concavidade vamos ter que fazer o teste da segunda derivada. Pra refrescar a memória:

Maravilha, vamos então achar a segunda derivada

f ' ' x = d d x f ' x =   12 x 2 - 4

Agora se f ' ' x > 0 , vamos ter:

12 x 2 - 4 > 0

x 2 > 1 3

x > 1 3     e   x < - 1 3

Agora se f ' ' x < 0 , vamos ter:

12 x 2 - 4 < 0

x 2 < 1 3

- 1 3 < x < 1 3

Por fim:

f x = c ô n c a v o   p r a   c i m a ,     s e   x > 1 3 x < - 1 3

f x = c ô n c a v o   p r a   b a i x o ,     s e   - 1 3 < x < 1 3

Resposta

0 , - 8 → P o n t o   d e   m á x i m o

1 , - 9 → P o n t o   d e   m í n i m o

- 1 , - 9 → P o n t o   d e   m í n i m o

f x = c r e s c e n t e   ,     s e   - 1 < x < 0 x > 1

f x = d e c r e s c e n t e   ,     s e   0 < x < 1     x < - 1

f x = c ô n c a v o   p r a   c i m a ,     s e   x > 1 3 x < - 1 3

f x = c ô n c a v o   p r a   b a i x o ,     s e   - 1 3 < x < 1 3

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