Mostre que tem um máximo absoluto em . Conclua que
Passo 1
Entender o que o enunciado pede
Essa questãozinha malandra pede pra gente provar que o maior valor em todo de ocorre em . Sendo assim, o maior valor de será:
Se esse é um máximo absoluto, então:
Então vamos provar que essa inequação é verdadeira beleza? Assim, estaremos mostrando o que o enunciado pede. Bora lá:
Passo 2
Calcular o limite para
Vamo que vamo. O limite que queremos calcular é:
Opa, mas isso ai é uma indeterminação do tipo , não é? Isso mesmo. Tiramos de letra esse limite se aplicarmos L’Hospital:
E como tínhamos que provar que:
Temos que realmente:
Passo 3
Calcular o limite para
Dessa vez calculamos o seguinte limite:
O procedimento nesse caso vai ser o mesmo do passo anterior, certo? Então vamos aplicar L’Hospital:
E como tínhamos que provar que:
Temos que realmente:
Show de bola, obtivemos duas vezes! Então realmente é o máximo absoluto de .
Passo 4
Concluir que
Pra fecharmos essa questão mesmo, temos que concluir que . Beleza, ta vendo que dos dois lados da inequação eu tenho algo elevado a algo? E se eu aplicasse uma “operação logarítimo natural” dos dois lados? Dá uma olhada:
Dividindo os dois lados por , vamos ter:
Opa, isso lembra o resultado do enunciado não é mesmo? Essa inequação é a mesma coisa que, sendo , a seguinte inequação:
E como é o valor máximo de , como , então realmente é válida a inequação .
Resposta
é de fato o máximo absoluto de e foi provado que