1.

k. Uma função composta h(x) = f(g(x)) com f(x) e g(x) contínuas em [a, b] necessariamente atinge valores máximos e mínimos globais?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Antes de tudo, precisamos entender que ponto é esse!

Um ponto de máximo é um ponto na função que é maior que os pontos próximos a ele. Em um gráfico, é como se tivéssemos o topo de uma colina. Já um ponto de mínimo é justamente o contrario, podemos pensar que ele tem a forma de um buraco.

E como sabemos se uma função não terá um máximo ou mínimo?

Repara que no gráfico acima possui uma reta azul, nos pontos de máximo e mínimo, que representa a reta tangente ao ponto. Se a gente olhar com calma, vamos perceber que tanto pra pontos de máximo quanto pra pontos de mínimo a reta tangente à eles é horizontal, ou seja, o coeficiente angular delas é zero.

Lembra que o coeficiente angular da reta tangente a um ponto é justamente a derivada da curva naquele ponto? Opaaa, então a gente acabou de chegar a conclusão de que para pontos de máximo e mínimo, a derivada da curva é nula naquele ponto.

f ' a = 0

Passo 2

Galerinha, então respondendo a pergunta: qualquer função cuja a derivada nunca será zero, será uma função sem máximo. Um exemplo desse tipo de função é a função logarítmica.

Podemos pensar que nossa h x é

h x = ln ⁡ x 2

Ou seja,

f x = ln ⁡ x

g x = x 2

Sua derivada será,

h ' x = x 2 ' ln ⁡ ' x 2

h ' x = 2 x 1 x 2 = 2 x

Note que a derivada sempre será diferente de zero. Ou seja, a função não possui nem máximo nem mínimo. Olhando no gráfico de h x para visualizar melhor:

Logo, h x não possui pontos de máximos e mínimos.

Resposta

Não

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