Nos próximos 5 testes assinale “verdadeiro” ou “falso” para cada uma das afirmações.

Para estes testes, seja uma função derivável cuja derivada é dada por

17. A função possui um único ponto crítico.

18. A função possui um único máximo local.

19. A função é descrecente em .

20. A função tem exatamente dois pontos de inflexão.

21. .

17. Começando com: “A função possui um único ponto crítico”.

Então, pessoal, para sabermos se a função tem algum ponto critico, temos que verificar quando que a sua derivada é zero.

A função tangente é zero, quando o arco for igual a . Ou seja, quando

Acabamos de mostrar que a derivada é igual zero em vários pontos, ou seja, ela tem vários pontos críticos. Logo, a afirmação é falsa.

18. A função possui um único máximo local.

Para fazer essa análise, vamos verificar os finais de . Quando a derivada for positiva, a função será crescente, e quando for negativa, decrescente.

Fica assim,

Ou seja, para este intervalo a função terá um máximo local em e um mínimo local em . Logo a afirmação é verdadeira.

19. A função é descrecente em .

Pela análise do Passo 3, podemos concluir que essa afirmação é falsa. Pois temos que , se , onde a função é crescente neste intervalo.

20. A função tem exatamente dois pontos de inflexão.

Para analisarmos essa afirmação, precisamos verificar quando a . Calculando,

Note que para , a função será positiva, ou seja, terá concavidade para cima. E para , será negativa, ou seja, concavidade para baixo. Deste modo, em é o único ponto onde haverá a troca desta concavidade, ou seja, o único ponto de inflexão. Logo esta afirmação é falsa.

21. .

Uma forma de resolver essa questão é integrando para encontrar . Mas uma análise mais direta é verificar quem como e para todo , temos que a função so aumentará de valor conforme . Logo a afirmação é verdadeira.