Calculo 1 – UFPE – 2° EE
Considere a função definida para todo real pela expressão
Determine o máximo e mínimo absolutos que atinge no intervalo .
Passo 1
Antes de começarmos a discutir o cálculo dos máximos e mínimos absolutos em si, é importante relembrarmos como calculamos eles!
O procedimento é relativamente simples. Temos que seguir os seguintes pontos:
- Calculamos os valores da nossa nos extremos do intervalo. Para esta questão, calculamos e ;
- Depois temos que calcular os valores de nos pontos críticos da função pertencente ao intervalo . Relembrando, os pontos críticos são aqueles de coordenadas tais que a derivada da função no ponto, isto é, , não existe ou é igual a zero;
- Por fim, checamos qual o maior e menor valor encontrado para a nossa entre os pontos 1 e 2. Eles serão, respectivamente, os máximo e mínimo absolutos.
Sendo assim, vamos começar pela parte mais fácil, que é calcular o valor da função nos extremos do intervalo. Relembrando, para
Então,
Passo 2
Agora, vamos para o ponto 2. Analisaremos os valores da nos pontos críticos da função no intervalo .
Sendo assim, precisaremos começar por determinar estes pontos críticos. Pela definição, vamos calcular a derivada e verificar os pontos em que ela é nula ou não existe no intervalo. Logo,
Como temos uma soma de funções trigonométricas, as quais estão definidas para qualquer pertencente aos reais, a derivada sempre existirá.
Isto significa que, se queremos encontrar os pontos críticos, temos que verificar os pontos em que a derivada é nula. Sendo assim,
A função é igual a -1 para os valores de iguais a , onde é um número inteiro. Logo, o único ponto crítico dentro do intervalo é:
E portanto,
Passo 3
Para finalizar, vamos analisar o maior e menor valor obtido. Encontramos os seguintes valores da função:
O maior deles ocorre em e é . Portanto, este é o ponto de máximo absoluto.
Já o menor deles ocorre em e é . Portanto, este é o ponto de mínimo absoluto.
Resposta
O máximo absoluto ocorre no ponto . Já o mínimo absoluto ocorre no ponto .