UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P3 - 2020.1, Questão 7
Seja um número real positivo,
E
Sabe-se que as funções e crescem e decrescem nos mesmos intervalos. O valor mínimo de é:
Escolha uma:
(A) 27
(B) 26
(C) 31
(D) 32
(E) 28
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado no deu duas funções, e , que crescem e decrescem nos mesmos intervalos, isso significa que suas derivadas são iguais:
Ele nos disse que é um número real positivo, e nós precisamos encontrar o valor mínimo de . Pra isso, nós vamos derivar as duas funções que ele nos deu, igualar essas derivadas e verificar as condições para que seja mínimo.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando , lembrando de usar a regrinha do produto e a regra da Cadeia na derivação.
Nós temos:
Simplificando:
Colocando em evidência:
Agora, derivando , temos:
Igualando as duas derivadas:
E isolando , temos:
Passo 3
Como é um número real positivo, temos:
A partir daí, nós podemos usar a fórmula de Bhaskara para avaliar as raízes da equação. Calculando , temos:
Como não podemos ter mais de uma raiz, vamos considerar . Dessa forma,
Isolando :
De acordo com a desigualdade, para que seja mínimo, ele precisa ser igual a , porque ele assume apenas valores maiores. Logo,
Valeu, galera! Até a próxima! 😉