USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Helton Bíscaro - Lista 5, Questão 4a
Um homem de 2 m de altura se move em direção a um a poste de luz a uma velocidade de 5 m/s. Do alto deste poste, uma lâmpada ilumina o homem e projeta uma sombra. Quando a distância entre o homem e o poste é de 4 m:
- Com que velocidade a ponta da sobra se move?
- Qual a taxa de variação do comprimento da sombra?
Passo 1
Vamos resolver esse problema em duas partes, utilizando conceitos básicos de geometria e trigonometria.
Dados:
- Altura do homem (h): 2 m
- Velocidade do homem (v): 5 m/s
- Distância entre o homem e o poste (d): 4 m
A velocidade da ponta da sombra pode ser calculada utilizando proporções semelhantes entre os triângulos formados pelo homem, sua sombra e o poste.
Inicialmente, temos um triângulo retângulo onde a altura do homem é o cateto oposto (h), a distância entre o homem e o poste é a hipotenusa (d), e o cateto adjacente é o comprimento da sombra (s).
Passo 2
Usando o Teorema de Pitágoras, temos:
Derivando ambos os lados da última equação em relação ao tempo (t), obtemos:
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando o valor numérico:
Portanto, a ponta da sombra se move a uma velocidade aproximada de 11.55 m/s.
Resposta
Portanto, a ponta da sombra se move a uma velocidade aproximada de 11.55 m/s.