3) Encontre os pontos de máximo e de mínimo da função , quando restrita ao intervalo ; ainda, especifique se tais pontos são de máximo/mínimo absoluto ou relativo
Passo 1
Pra começar, vamos lembrar o seguinte: o enunciado quer pontos de máximo/mínimo. Opa, esses pontos não são pontos críticos? Pois é, já que são eles mesmos, pra achar, bora derivar a função. Pela regra do produto:
O que no final das contas, dá:
Pra achar ponto crítico, precisamos igualar a a primeira derivada. Sendo assim:
O que só é possível quando
Como estamos considerando o intervalo , podemos descartar o ponto crítico negativo que encontramos e considerar só:
Mas será que ele é um ponto de máximo ou será que é de mínimo? Será absoluto ou será relativo? Vamos testar.
Passo 2
Vamos ver se esse ponto é um ponto de máximo ou de mínimo, beleza? Pra isso, temos que ver o sinal da primeira derivada antes do ponto e depois do ponto. Antes do ponto, podemos testar . Vamos ter:
Pra depois do ponto, podemos testar . Vamos ter:
Então se antes a função era crescente por ter primeira derivada positiva e depois ela era decrescente por ter primeira derivada negativa, é um ponto de máximo! Pra saber se esse ponto é absoluto ou relativo no intervalo proposto, temos que testar todos os três valores:
Vamos ficar com:
Opa, chegamos então a conclusão que:
O que significa que é um ponto de máximo absoluto, enquanto é um ponto de mínimo absoluto. O coitado do vai ser então um ponto de mínimo relativo uma vez que a função está decrescendo nesse intervalo e .