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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Enunciado

4. Dada a função f x = ln ⁡ x 2 + 1 x 2 .

  1. Os intervalos de crescimento e de decrescimento de f .
  2. Os pontos de máximo e mínimo locais de f .
  3. Os intervalos nos quais f é côncova (concavidade voltada para cima) ou com convexa (concavidade voltaa para baixo).

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Para descobrirmos onde a função é crescente e onde ela descrece, precisamos lembrar essa regrinha aqui.

  • Q u a n d o   f ' x > 0 ,   a   f u n ç ã o   é   c r e s c e n t e
  • Q u a n d o   f ' x < 0 ,   a   f u n ç ã o   é   d e c r e s c e n t e
  • Q u a n d o   f ' x = 0 ,   e n t ã o   x   é   u m   p o n t o   c r í t i c o

    • E os pontos críticos são esses pontos em que a derivada é nula, ou seja, quando a função deixa de ser crescente e passa a ser decrescente ou ao contrário.

    Então, precisaremos achar os pontos críticos e depois analisar o sinal da derivada antes e depois de cada um deles.

    Para achar os pontos críticos, precisamos derivar a nossa função e igualar a zero.

    A derivada fica assim,

    f ' x = ln ⁡ x 2 ' + 1 x 2 '

    Aplicando a regra da cadeia para derivar f ( x ) ficamos com

    f ' x = x 2 ' ln ' ⁡ ( x 2 ) + 1 x 2 '

    f ' x = 2 x 1 x 2 + - 2 x 3

    f ' x = 2 1 x - 1 x 3

    Igualando a zero, ficamos com

    f ' x = 2 1 x - 1 x 3 = 0

    1 x = 1 x 3

    x 3 - x = 0

    Fatorando

    x x 2 - 1 = 0

    x x + 1 x - 1 = 0

    Temos que x = ± 1 são pontos crítico! Agora vamos analisar seu entornos!

    Passo 2

    Relembrando da regrinha:

  • Q u a n d o   f ' x > 0 ,   a   f u n ç ã o   é   c r e s c e n t e
  • Q u a n d o   f ' x < 0 ,   a   f u n ç ã o   é   d e c r e s c e n t e

Vamos analisar os intervalos entre os pontos críticos, a partir do sinal da nossa derivada:

f ' x = 2 1 x - 1 x 3

Para x < - 1 , temos que f ' x < 0 (aqui se você quiser conferir, pode escolher qualquer valor valor menor que - 1 e substituir na derivada para encontrar um valor negativo). Logo ela será decrescente.

Para - 1 < x < 0 , temos f ' x > 0 (se quiser conferir aqui também, sem problemas). Logo f é crecente neste intervalo.

Para 0 < x < + 1 , temos f ' x < 0 . Logo f é decrecente neste intervalo.

Por fim, para x > + 1 , temos que f ' x > 0 (se quiser conferir aqui também, sem problemas). Logo f é crecente neste intervalo.

Resumindo na tabelinha, a gente tem 4 intervalos:

Passo 2

Passo 3

  • Aqui temos que sinalizar os mínimos e máximos locais. Nos passos anteriores já vimos que x = ± 1 é são pontos criticos e temos também que:

    • A função é decrescente para valores menores que - 1 e crescente para valores maiores - 1 . Se desenharmos esse perfil num gráfico vamos verificar que esse é um ponto de mínimo local.

    Logo:

    f x = ln ⁡ x 2 + 1 x 2

    f - 1 = ln ⁡ - 1 2 + 1 ( - 1 ) 2 = 1

    O mínimo local será em - 1,1 .

    Passo 4

    Temos também que a função é decrescente para valores menores que + 1 e crescente para valores maiores + 1 . Se desenharmos esse perfil num gráfico vamos verificar que esse é um ponto de mínimo local.

    Logo:

    f x = ln ⁡ x 2 + 1 x 2

    f + 1 = ln ⁡ + 1 2 + 1 ( + 1 ) 2 = 1

    O mínimo local será em 1,1 .

    Passo 5

  • Agora vamos analisar a segunda derivada, para então descobrir onde ela é concova ou convexa.

    • Fazendo a segunda derivada temos,

    f ' x = 2 1 x - 1 x 3

    f ' ' x = 2 - 1 x 2 + 3 x 4

    Igualando a zero ficamos com

    f ' ' x = 2 - 1 x 2 + 3 x 4 = 0

    3 x 4 = 1 x 2

    x 4 x 2 = 3

    x 2 = 3

    x = ± √ 3

    Agora vamos analisar o seu entorno, seguindo o mesmo raciocinio da primeira derivada!

    Para x < - √ 3 , temos que f " x < 0 . Logo f é convexa neste intervalo.

    Para - 3 < x < 0 , temos que f " x > 0 . Logo f é concava neste intervalo.

    Para 0 < x < + √ 3 , temos que f " x > 0 . Logo f é concava neste intervalo.

    Para x > + √ 3 , temos f " x < 0 . Logo f é convexa.

    Resposta

    1. Para x < - 1 , f é decrescente.

      2. Para - 1 < x < 0 , f é crecente.

      Para 0 < x < + 1 , f é decrecente.

      Para x > + 1 , f é crecente.

    2. Os mínimos locais são em - 1,1 e ( 1,1 ) .
    3. Para x < - √ 3 , f é convexa.

    Para - 3 < x < 0 , f é côncava.

    Para 0 < x < + √ 3 , f é côncava.

    Para x > + √ 3 , f é convexa.

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