UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 9.1
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função .
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado da questão pede para a gente encontrar os máximos e mínimos absolutos da função , no intervalo . E como é que a gente faz isso? Bem, em um ponto de máximo, a função não cresce a partir desse ponto, caso contrário ele não seria um máximo. E, em um ponto de mínimo, a função não diminui a partir desse outro ponto, se não ele não seria um ponto de mínimo. Assim, a gente pode utilizar essa informação para descobrir esses pontos! Imagina a seguinte situação: conforme você vai aumentando o valor de x, a função vai crescendo e crescendo até atingir seu valor máximo. A partir daí, ela tem que decrescer (para que esse ponto tenha sido máximo). Bem, a gente sabe que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação à variável do domínio. Então, para calcular os pontos de extremos, só precisamos exigir que a derivada seja nula, porque, para ser um ponto de extremo (ou de inflexão) de uma função contínua, a derivada tem que mudar de sinal! Se nos aproximamos de um ponto de máximo, a derivada deve ser positiva pois a função está crescendo para atingir seu máximo. Agora, após passar esse ponto, a derivada tem que ser negativa, porque a função tem que decrescer a partir do máximo, ou então ele não seria um máximo da função. O mesmo raciocínio vale para pontos de mínimo: a derivada deve ser negativa até atingir o ponto de mínimo e, a partir daí, positiva. Depois disso, vamos verificar os valores da função nos limites do intervalo para garantir que os máximos e mínimos calculados são absolutos. Então vamos lá calcular a derivada!
Passo 2
Como a derivada de uma soma de funções é simplesmente a derivada da soma, só precisamos derivar cada um dos termos de y(x). A gente sabe que a derivada de x é 1 e, a derivada da função trigonométrica sen(x) é cos(x). Então, a derivada da nossa função é
Agora, a gente só precisa descobrir quais pontos no intervalo anulam essa função! Assim, temos
Então, os valores de x, são aqueles que possuem cosseno igual à : e . Agora, só precisamos descobrir qual das respostas se refere à um máximo e qual se refere à um mínimo. Pra isso a gente só precisa substituir esses valores na função y(x). Bora lá!
Passo 3
Se substituirmos na função y(x), a gente obtém
Substituindo na função y(x), a gente obtém
Utilizando os valores numéricos, temos que , então, nosso ponto de máximo é e o ponto de mínimo é . Agora, se substituirmos os limites do intervalo na função [0,2], obtemos os seguintes valores:
Então, temos que o máximo e o mínimo da função estão nos limites do intervalo! Dá só uma olhada no gráfico da função:
A quest��o foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Máximo absoluto:
Mínimo absoluto:
Máximo relativo:
Mínimo relativo: