USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Helton Bíscaro - Lista 5, Questão 3
Uma escada de 5 metros de comprimento est ́a apoiada em uma parede vertical. Sabendo-se que o p? é da escada se afasta da parede a uma velocidade de 10 cm/s, qual a velocidade com que cai verticalmente o topo da escada?
Passo 1
Vamos considerar a situação geométrica em que a escada está apoiada na parede vertical. Vamos chamar o comprimento da escada de metros e a distância do pé da escada à parede de onde é uma função do tempo
Pela situação dada, a distância está aumentando a uma taxa constante de 10 cm/s. Portanto, podemos expressar .
Agora, vamos usar o teorema de Pitágoras para relacionar as variáveis (comprimento da escada) e (altura da escada):
Passo 2
Derivando ambos os lados da equação com relação ao tempo obtemos:
Como estamos interessados em saber a taxa de variação da altura da escada quando o pé da escada está se afastando da parede a 10 cm/s, podemos resolver a equação acima para
Agora, podemos substituir na equa�o:
Passo 3
Substituindo os valores conhecidos: , (que é ):
Agora, queremos encontrar a taxa de variação da altura quando (quando o pé da escada está a 1 metro do chão):
A velocidade com que o topo da escada está caindo verticalmente é 0.025 m/s, ou 2.5 cm/s.
Portanto, o topo da escada está caindo verticalmente a uma taxa de 2.5 cm/s.
Resposta
Portanto, o topo da escada está caindo verticalmente a uma taxa de 2.5 cm/s.