Uma escada de 5 metros de comprimento est ́a apoiada em uma parede vertical. Sabendo-se que o p? é da escada se afasta da parede a uma velocidade de 10 cm/s, qual a velocidade com que cai verticalmente o topo da escada?

Passo 1

Vamos considerar a situação geométrica em que a escada está apoiada na parede vertical. Vamos chamar o comprimento da escada de L = 5   c m metros e a distância do pé da escada à parede de x ,   onde x   é uma função do tempo t

Pela situação dada, a distância x   está aumentando a uma taxa constante de 10 cm/s. Portanto, podemos expressar d x / d t = 10   c m / s .

Agora, vamos usar o teorema de Pitágoras para relacionar as variáveis x , L   (comprimento da escada) e h   (altura da escada):

x 2 + h 2 = L 2

Passo 2

Derivando ambos os lados da equação com relação ao tempo t ,   obtemos:

2 x d x d t + 2 h d h d t = 0

Como estamos interessados em saber a taxa de variação da altura da escada ( d h / d t )   quando o pé da escada está se afastando da parede a 10 cm/s, podemos resolver a equação acima para d h / d t

2 x d x d t + 2 h d h d t = 0

2 h d h d t = - 2 x d x d t

d h d t = - x h d x d t  

Agora, podemos substituir x = L - h   na equaç��o:

d h d t = - 5 - h h ⋅ 0.1

Passo 3

Substituindo os valores conhecidos: L = 5   m , d x d t = 10   c m / s (que é ( 0.1 )   m / s ):

d h d t = - 5 - h h ⋅ 0.1

Agora, queremos encontrar a taxa de variação da altura d h / d t quando h = 4   m (quando o pé da escada está a 1 metro do chão):

d h d t = - 5 - 4 4 ⋅ 0.1

d h d t = - 0.025

A velocidade com que o topo da escada está caindo verticalmente é 0.025 m/s, ou 2.5 cm/s.

Portanto, o topo da escada está caindo verticalmente a uma taxa de 2.5 cm/s.

Resposta

Portanto, o topo da escada está caindo verticalmente a uma taxa de 2.5 cm/s.

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Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
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