UFES, 2018.1, Lista 5, Q18
18) Achar as constantes e de modo que:
Passo 1
Faaala galerinha!
Essa questão pede pra gente determinar o valor de e de pro limite dar zero. Basicamente, a ideia é desenvolver a expressão dentro do limite, até que os valores de e que tornam o limite nulo estejam bem evidentes.
A primeira coisa é manipular um pouco essa expressão, pra tentar deixar tudo na mesma fração:
Passo 2
Beleza, e o que isso nos ajuda? É que em quociente de polinômios a ideia geralmente é colocar o expoente de maior grau em evidência. Mas, se fizermos isso, teremos algo assim:
O problema é que ao cancelarmos o teremos denominador igual a zero quando .
Isso significa que não podemos ter o grau 3 no nosso polinômio do numerador, ou seja, o coeficiente de precisa ser zero. Então:
Vamos ver como fica a expressão do limite:
Passo 3
Agora já podemos aplicar o limite:
Então, como queremos que o limite seja nulo, devemos ter .
Assim, apenas para confirmar, podemos substituir e para verificar se o limite realmente dá zero.
Ótimo, então realmente e .
Resposta
e