Calcule cada limite, caso exista. Se não existir, justifique.

b )   lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x - y x 2 + y 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando esse limite

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x - y x 2 + y 2

E pediu para calcular! E agora, como fazer?

Lembrando que a primeira coisa que você vai tentar é substituir os valores na função! Se você encontrar alguma indeterminação, aí tentamos outras técnicas, se não, é só substituir mesmo!

Bora substituir!

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x - y x 2 + y 2 = 0 - 0 0 + 0 = 0 0

Opa! Encontramos uma indeterminação! Então precisamos usar alguma técnica!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A primeira é a dos múltiplos caminhos! Vamos supor que y = m x , em que m é uma constante qualquer. Se o resultado independer de m , então o limite existe. Mas se depender de m então dizemos que o limite não existe, ok!

Bora começar!

lim x , mx �� 0,0 ⁡ x - y x 2 + y 2 = lim x , mx → 0,0 ⁡ x ( 1 - m ) x 2 ( 1 + m 2 )

= 1 - m ( 1 + m 2 ) lim x , mx → 0,0 ⁡ 1 x

Temos que o limite em x diverge, então esse limite não existe

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

d i v e r g e

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