Calcule cada limite, caso exista. Se não existir, justifique.

f )   lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y 2 x 2 - y 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando esse limite

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y 2 x 2 - y 2

E pediu para calcular! E agora, como fazer?

Lembrando que a primeira coisa que você vai tentar é substituir os valores na função! Se você encontrar alguma indeterminação, aí tentamos outras técnicas, se não, é só substituir mesmo!

Bora substituir!

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y 2 x 2 - y 2 = 0 0 - 0 = 0 0

Opa! Encontramos uma indeterminação! Então precisamos usar alguma técnica!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A primeira é a dos múltiplos caminhos! Vamos supor que x = m y 2 , em que m é uma constante qualquer. Se o resultado independer de m , então o limite existe. Mas se depender de m então dizemos que o limite não existe, ok!

Bora começar!

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y 2 x 2 - y 2 = lim m y 2 , y → 0,0 ⁡ y 4 m y 2 ( m 2 - 1 )

= m ( m 2 - 1 ) lim m y 2 , y → 0,0 ⁡ y 2 = 0

Temos que o limite em y vai a zero, sendo assim esse limite existe e vale 0

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

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