UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Vera Lúcia - Lista 2, Questão 2d
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique.
Passo 1
Falaiii galerinha
Escolhe a pílula e simbora comigo ...
Vamos calcular o limite pedido:
Neste caso, ao substituir diretamente , obtemos uma forma indeterminada do tipo .
Isso indica que precisamos simplificar a expressão para avaliar o limite adequadamente.
Uma maneira de simplificar é multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é .
Passo 2
E ai, escolheu qual pílula?
Eu tenho plena certeza que você escolheu a pílula do responde ai, então irei explicar o processo teórico por trás do cálculo de limites envolvendo raízes e fatoração.
O limite é um conceito fundamental na análise matemática que descreve o comportamento de uma função quando a variável independente (geralmente denotada por ) se aproxima de um determinado valor (geralmente denotado por
Escrevemos o limite da função à medida que se aproxima de da seguinte maneira:
No seu exemplo, estamos interessados em calcular o limite da função
quando se aproxima de
Passo 3
Quando nos aproximamos de temos um problema inicial: substituir diretamente por 1 na expressão nos daria uma forma indeterminada do tipo .
Isso ocorre porque tanto o numerador como o denominador se tornam 0 quando se aproxima de 1.
Para lidar com essa indeterminação, uma técnica comum é a de racionalização, que envolve manipular a expressão de forma algébrica para eliminar as raízes no numerador.
No seu caso, a racionalização envolve multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é
A conjugada de uma expressão
Passo 4
Multiplicando a expressão pelo conjugado do numerador, conseguimos eliminar a raiz quadrada no numerador:
Agora, como não pode ser igual a 1 no denominador, podemos simplificar os termos e chegar a:
O que isso nos diz é que à medida que se aproxima de 1, a função se aproxima de 1.
Portanto, o limite da função quando se aproxima de 1 é igual a 1.
Isso significa que a função tem um comportamento definido e limitado conforme se aproxima de 1.
O limite existe e é um número finito.