Calcule, caso exista

k )   lim x → 0 ⁡ 1 ln ⁡ ( 1 + x ) - 1 e x - 1      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 0 ⁡ 1 ln ⁡ ( 1 + x ) - 1 e x - 1    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo ∞ - ∞

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → 0 ⁡ 1 ln ⁡ ( 1 + x ) - 1 e x - 1     = lim x → 0 ⁡ e x - 1 - ln ⁡ ( 1 + x ) e x - 1 ln ⁡ ( 1 + x )

Substituindo o x por 0 temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 agora é só aplicar a regra de l’hospital!

Passo 3

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - ln ⁡ ( 1 + x ) e x - 1 ln ⁡ ( 1 + x ) = lim x → 0 ⁡ e x - 1 1 + x e x ln ⁡ ( 1 + x ) + e x - 1 1 + x

Substituindo novamente o limite encontramos indeterminação de novo 0 / 0 , então vamos aplicar a regra novamente! Derivando em cima e embaixo temos

lim x → 0 ⁡ e x + 1 1 + x 2 e x ln ⁡ ( 1 + x ) + e x x + 1 1 + x 2

Aplicando em zero temos

= 1 + 1 1 2 1 . ln ⁡ ( 1 ) + 0 + 1 1 + 2 = 2 1 = 2

Ufa! Terminamos!

E é isso! Até a próxima!

Resposta

2

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