Calcule, caso exista

m )   lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ( 1 + x 2 ) x arctan ⁡ x      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 x arctan ⁡ x    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 0 0

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos identificar se é do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 x arctan ⁡ x     = lim x → 0 ⁡ 1 1 + x 2 . 2 x arctan ⁡ x + x x 2 + 1

Se avaliarmos no limite vamos encontrar 0 0 novamente. Isso significa que precisamos aplicar mais uma vez a regra de L’hospital!

Passo 3

Derivando novamente temos

lim x → 0 ⁡ 2 x 1 + x 2 arctan ⁡ x + x x 2 + 1 = lim x → 0 ⁡ 2 ( 1 - x 2 ) x 2 + 1 2 2 x 2 + 1 2

Organizando temos

lim x → 0 ⁡ 2 1 - x 2 x 2 + 1 2 . x 2 + 1 2 2 =

lim x → 0 ⁡ ( 1 - x 2 ) = 1

E é isso! Encontramos o nosso limite!

E é isso! Até a próxima!

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados