Calcule, caso exista

h )   lim x → 0 ⁡ 1 1 - cos ⁡ x - 2 x 2      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 0 ⁡ 1 1 - cos ⁡ x - 2 x 2    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo ∞ - ∞

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → 0 ⁡ 1 1 - cos ⁡ x - 2 x 2     = lim x → 0 ⁡ x 2 - 2 ( - cos ⁡ x + 1 ) x 2 ( 1 - cos ⁡ x )

Substituindo o x por 0 temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 agora é só aplicar a regra de l’hospital!

Passo 3

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 0 ⁡ x 2 - 2 ( - cos ⁡ x + 1 ) x 2 ( 1 - cos ⁡ x ) = lim x → 0 ⁡ 2 x - 2 sin ⁡ x 2 x - cos ⁡ x + 1 + sin ⁡ x . x 2

Substituindo novamente o limite encontramos indeterminação de novo 0 / 0 , então vamos aplicar a regra novamente! Derivando temos

lim x → 0 ⁡ 2 - 2 cos ⁡ x x 2 cos ⁡ x + 4 x sin ⁡ x - 2 cos ⁡ x + 2

Poxa vida, avaliando temos novamente a mesma indeterminação! E agora? A ideia é continuar até levantarmos a indeterminação! Então força na peruca! Bora lá!

Derivando novamente

lim x → 0 ⁡ 2 sin ⁡ x - x 2 sin ⁡ x + 6 x cos ⁡ x + 6 sin ⁡ x = 0 0

E por fim derivando novamente

lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x - x 2 cos ⁡ x - 8 x sin ⁡ x + 12 cos ⁡ x

Aplicando em zero temos

= 2 12 = 1 6

Ufa! Terminamos!

E é isso! Até a próxima!

Resposta

1 6

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