Calcule, caso exista

o )   lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x + 2 x 2 e x + e - x - 2      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x + 2 x 2 e x + e - x - 2    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 0 0

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos identificar se é do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x + 2 x 2 e x + e - x - 2     = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x + x cos ⁡ x + 4 x e x - e - x

Se avaliarmos no limite vamos encontrar 0 0 novamente. Isso significa que precisamos aplicar mais uma vez a regra de L’hospital!

Passo 3

Derivando novamente temos

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x + x cos ⁡ x + 4 x e x - e - x = lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x - x sin ⁡ x + 4 e x + e - x

Avaliando novamente o limite

2 cos ⁡ 0 - 0 . sin ⁡ 0 + 4 e 0 + e 0 = 2 + 4 2

= 3

E é isso! Encontramos o nosso limite!

E é isso! Até a próxima!

Resposta

3

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