Calcule, caso exista

q )   lim x → 0 ⁡ 1 + 2 sin ⁡ 2 x 1 sin ⁡ x      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 sin ⁡ 2 x 1 sin ⁡ x    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 0 ∞

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 sin ⁡ 2 x 1 sin ⁡ x     = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 1 + 2 sin ⁡ 2 x 1 sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ e 1 sin ⁡ x . ln ⁡ ( 1 + 2 sin ⁡ 2 x )    

E ainda podemos transportar o limite para dentro do argumento da expoente:

e lim x → 0 ⁡ 1 sin ⁡ x . ln ⁡ ( 1 + 2 sin ⁡ 2 x )  

E ficamos com esse limite para resolver:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + 2 sin ⁡ 2 x sin ⁡ x  

Substituindo o x por 0 ainda encontramos uma indeterminação, mas não temos ela no expoente! e é uma indeterminação que podemos aplicar L’hospital! Então já tá melhor!

Passo 3

Agora sim temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 e podemos aplicar a regra!

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + 2 sin ⁡ 2 x sin ⁡ x   = lim x → 0 ⁡ 1 1 + 2 sin ⁡ 2 x ( 4 cos ⁡ 2 x ) cos ⁡ x  

Avaliando agora essa nova expressão no limite

lim x → 0 ⁡ 4 cos ⁡ 2 x 1 + 2 sin ⁡ 2 x cos ⁡ x   = 4 1 = 4

Tudo bem? E por fim vamos retornar para a exponencial

e lim x → 0 ⁡ 1 + 2 sin ⁡ 2 x 1 sin ⁡ x   = e 4

E é isso! Até a próxima!

Resposta

e 4

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