Calcule, caso existam, os limites abaixo:

e)

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x tan ⁡ 5 x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x tan ⁡ 5 x

Para verificarmos o resultado desse limite, existem alguns métodos. Abaixo seguem alguns:

  1. Substituir o valor diretamente;
  2. Caso 1) não seja possível, podemos buscar simplificar a expressão;
  3. Analisar os limites laterais.

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, para esse caso, não podemos simplesmente substituir x por 0 na expressão pois teríamos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Dessa forma, podemos simplificar a expressão para encontrarmos o limite utilizando a regra de L’Hospital.

Nessa regrinha, derivamos o numerador e o denominador de tal forma que:

lim ⁡ f x g x = lim ⁡ f ' x g ' x

Nesse sentido, sabendo que a derivada da tangente é dada por:

tan ⁡ u ' = u ' sec 2 ⁡ u

Substituindo no nosso limite, temos:

lim x → 0 ⁡ 3 sec 2 ⁡ 3 x 5   sec 2 ⁡ 5 x

Passo 3

Dessa forma, aplicando o limite, temos:

lim x → 0 ⁡ 3 sec 2 ⁡ 3 x 5   sec 2 ⁡ 5 x = 3 sec 2 ⁡ 3 * 0 5   sec 2 ⁡ 5 * 0 ∴

= 3 * 1 5 * 1 ∴

= 3 5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x tan ⁡ 5 x = 3 5

Exercícios de Livros Relacionados