Calcule, se existir, o valor do limite:

a) lim x → 1 ⁡ x 2 + x - 2 x 2 - 1 + 2 x - 1 1000

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o limite daquela função ali. Pra isso, nós vamos sempre buscar fugir das indeterminações. Então, vamos tentar fatorar e simplificar a função até que a gente consiga substituir o valor do limite em x e verificar o valor.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → 1 ⁡ x 2 + x - 2 x 2 - 1 + 2 x - 1 1000

Como o limite da soma é igual a soma dos limites (lembra da propriedade?), vamos dividir nosso limite em dois:

lim x → 1 ⁡ x 2 + x - 2 x 2 - 1 + lim x → 1 ⁡ 2 x - 1 1000

Beleza, agora repare que se a gente substituir 1 no primeiro limite, vamos chegar numa indeterminação 0 0 . Então, vamos tentar simplificar essa função pra fugir disso.

Fatorando as duas equações do segundo grau, no numerador e no denominador, temos:

lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) + lim x → 1 ⁡ 2 x - 1 1000

Agora a gente pode cortar os termos semelhantes:

lim x → 1 ⁡ x + 2 x + 1 + lim x → 1 ⁡ 2 x - 1 1000

E olha só, agora a gente pode substituir o valor 1 tranquilamente:

lim x → 1 ⁡ x + 2 x + 1 + lim x → 1 ⁡ 2 x - 1 1000 = 1 + 2 1 + 1 + 2 ∙ 1 - 1 1000

Calculando, temos:

lim x → 1 ⁡ x + 2 x + 1 + lim x → 1 ⁡ 2 x - 1 1000 = 3 2 + 1 1000

lim x → 1 ⁡ x + 2 x + 1 + lim x → 1 ⁡ 2 x - 1 1000 = 5 2

E encontramos nosso limite.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

5 2

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