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Exercícios Resolvidos de Quociente de Polinômios com x → Constante

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Enunciado

USP– Cálculo 1 – Lista 1 – Questão 1f

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

f )   lim x → 1 + ⁡ x 2 - 1 + x - 1 x - 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite aqui

lim x → 1 + ⁡ x 2 - 1 + x - 1 x - 1

Mas seguindo nosso instinto vamos substituir x por 1 e encontramos

1 2 - 1 + 1 - 1 1 - 1 = 0 0

Uma indeterminação! E agora, como sair dela?

Quando encontramos 0 / 0 em um limite, precisamos lembrar da Regra de L’Hospital:

lim x → a  ⁡ f ( x ) g ( x ) = ⏝ i n d e t e r m i n a ç ã o lim x → a  ⁡ f x ' g x '

Então a ideia é derivar a função que está no numerador, a que está no denominador e avaliar novamente o limite

Caso encontrarmos mais uma vez a indeterminação, basta derivar de novo! Vai fazendo isso até levantar por completo a indeterminação!

Bora lá!

Passo 2

Nosso limite

lim x → 1 + ⁡ x 2 - 1 + x - 1 x - 1

Derivando em cima e embaixo temos

lim x → 1 + ⁡ 2 x 2 x 2 - 1 + 1 2 x 1 2 x - 1

Tranquilo?

Agora vamos avaliar novamente o limite!

Passo 3

Retomando nosso limite

lim x → 1 + ⁡ 2 x 2 x 2 - 1 + 1 2 x 1 2 x - 1

Se substituirmos x por 1 vamos encontrar novamente uma indeterminação, mas antes de sair derivando novamente, vamos trabalhar um pouco com essa expressão! Fazendo m m c no numerador

x x 2 - 1 + 1 2 x 1 2 x - 1 = 2 x x + x 2 - 1 2 x x 2 - 1 1 2 x - 1

Pode parecer feio, mas calma! Agora vamos lembrar que x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 ) . Aí nossa expressão fica

2 x x + x 2 - 1 2 x ( x - 1 ) ( x + 1 ) 1 2 x - 1 = 2 x x + x 2 - 1 2 x ( x - 1 ) ( x + 1 ) . 2 x - 1 1  

Podemos simplificar x - 1 ! Saca só como fica

= 2 x x + x 2 - 1 x ( x + 1 )

Beleza?

Agora sim vamos avaliar novamente o limite:

lim x → 1 + ⁡ 2 x x + x 2 - 1 x ( x + 1 ) = 2 . 1 1 + 1 2 - 1 1 ( 1 + 1 )

= 2 2 = 2

E é isso! Até a próxima!

Resposta

2

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