USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 1.1q.
1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:
q)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema temos que obter o limite da função para tendendo a .
Tem ideia de como fazemos isso? 🤔
O cálculo de limite nada mais é o valor que a função tende para quando tendemos a um determinado valor .
Nesse caso, não podemos simplesmente substituir por e encontrar pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação .
Vamos analisar como a função se comporta aos arredores de . 👀
Passo 2
Vamos começar analisando o sinal da função.
Como nosso ponto é em , se nos aproximarmos pela esquerda, vamos ter valores negativos para e se nos aproximarmos pela direita, vamos ter valores positivos para , portanto, o sinal da função em depende da direção de onde ocorre a aproximação.
Em outras palavras, o termo é positivo se e negativo se , já o termo é positivo se e negativo se .
Conseguiu entender? 🤔
Com isso, a única maneira para o limite existir é se for igual a pois se ele for igual a uma constante , haverá uma divergência, pois, em um lado o limite será e no outro lado será .
Vamos deixar de papo furado e bora começar a calcular!
Perceba que os numeradores são constantes.
E se os termos e tendem a (tender a não é ser igual a )
Portanto, temos uma constante sendo dividida por um número muito pequeno, que quase é .
Dessa forma, os termos e tendem a .
Assim, pela explicação no início, o limite diverge, pois para ele existir deveria ser igual a .
Logo, na realidade temos
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁