USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 1.1alpha.
1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:
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Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão temos que calcular o limite da função .
E aí! Como fazemos isso? 🤔
De maneira geral, o limite de uma função resulta no valor em que ela tende a assumir quando tende a um valor.
Nesse caso, não podemos simplesmente substituir por e encontrar pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação .
Quando isso acontece, a ferramenta mais poderosa que podemos usar é a regra de que diz que podemos derivar o numerador e o denominador e recalcular o limite.
Veja só! 😊
Passo 2
O limite é dado por
Calculando a derivada do numerador, temos que aplicar a regra do produto
Observe que a derivada de deve ser obtida pela regra da cadeia já que é uma função composta.
As derivadas de e são obtidas pelo método de derivação polinomial, mas a derivada de é obtida pelo teorema fundamental do cálculo.
Substituindo na derivada...
Não podemos deixar o resultado em função de , então vamos voltar de para
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Agora vamos obter a derivada do denominador
Aqui, ambas as derivadas são obtidas pela regra da cadeia...
Agora derivamos pelo método de derivação polinomial
Substituindo na derivada...
Voltando para e para , temos
Bacana, não é? 😁
Passo 4
Substituindo os resultados no limite
Substituindo por nesse novo limite, temos
Aqui o filho chora e a mãe VÊ! Caímos em outra indeterminação, então vamos ter que aplicar a regra de novamente.
Bora lá! 👀
Passo 5
Derivando o numerador do limite...
Vamos separar em duas partes, primeiro calculamos a derivada de
Novamente vamos aplicar a regra do produto como
Já sabemos qual é a derivada de e para derivamos pelo método de derivação polinomial.
Para a derivada de calculamos do mesmo jeito
Aplicando a regra da cadeia na derivada de ...
Pelo método de derivação polinomial e pela regra da cadeia, temos
Foi de boa essa parte? 👍
Passo 6
Agora falta derivarmos o denominador
Nesse caso, temos que aplicar a regra do quociente
Já conhecemos a derivada de , portanto
E na derivada vamos usar o mesmo método
Também já sabemos qual é a derivada de ...
Será que agora vai? 🤔
Passo 7
Substituindo as duas partes das derivadas do numerador e do denominador no limite...
Enorme, não é? 👀👀
Substituindo por novamente...
E finalmente, como chegamos em
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍