Calcule, quando existirem, os limites abaixo

k )   lim x → π 2 ⁡ cos ⁡ x x - π 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite aqui

lim x → π 2 ⁡ cos ⁡ x x - π 2

Mas seguindo nosso instinto vamos substituir x por π 2 e encontramos

cos ⁡ x x - π 2 = 0 0

Uma indeterminação! E agora, como sair dela?

Quando encontramos 0 / 0 em um limite, precisamos lembrar da Regra de L’Hospital:

lim x → a  ⁡ f ( x ) g ( x ) = ⏝ i n d e t e r m i n a ç ã o lim x → a  ⁡ f x ' g x '

Então a ideia é derivar a função que está no numerador, a que está no denominador e avaliar novamente o limite

Caso encontrarmos mais uma vez a indeterminação, basta derivar de novo! Vai fazendo isso até levantar por completo a indeterminação!

Bora lá!

Passo 2

Nosso limite

lim x → π 2 ⁡ cos ⁡ x x - π 2

Derivando em cima e embaixo temos

lim x → π / 2 ⁡ - sin ⁡ x 1

Tranquilo?

Agora vamos avaliar novamente o limite!

Passo 3

Retomando nosso limite

lim x → π / 2 ⁡ - sin ⁡ x 1

Agora vamos substituir x por π 2

- sin ⁡ π 2 1 = - 1

Beleza?

E é isso! Até a próxima!

Resposta

2

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