Calcule, quando existirem, os limites abaixo

m )   lim x → 1 ⁡ sin ⁡ ( 3 x 2 - 5 x + 2 ) x 2 + x - 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite aqui

lim x → 1 ⁡ sin ⁡ 3 x 2 - 5 x + 2 x 2 + x - 2

Mas seguindo nosso instinto vamos substituir x por 1 e encontramos

sin ⁡ 3 . 1 2 - 5 . 1 + 2 1 2 + 1 - 2 = 0 0

Uma indeterminação! E agora, como sair dela?

Quando encontramos 0 / 0 em um limite, precisamos lembrar da Regra de L’Hospital:

lim x → a  ⁡ f ( x ) g ( x ) = ⏝ i n d e t e r m i n a ç ã o lim x → a  ⁡ f x ' g x '

Então a ideia é derivar a função que está no numerador, a que está no denominador e avaliar novamente o limite

Caso encontrarmos mais uma vez a indeterminação, basta derivar de novo! Vai fazendo isso até levantar por completo a indeterminação!

Bora lá!

Passo 2

Nosso limite

lim x → 1 ⁡ sin ⁡ 3 x 2 - 5 x + 2 x 2 + x - 2

Derivando em cima e embaixo temos

lim x → 1 ⁡ cos ⁡ 3 x 2 - 5 x + 2 . ( 6 x - 5 ) 2 x + 1

Tranquilo?

Agora vamos avaliar novamente o limite!

Passo 3

Retomando nosso limite

lim x → 1 ⁡ cos ⁡ 3 x 2 - 5 x + 2 . ( 6 x - 5 ) 2 x + 1

Agora vamos substituir x por 1

cos ⁡ 3 . 1 2 - 5 . 1 + 2 . ( 6 . 1 - 5 ) 2 . 1 + 1 = cos ⁡ 0 . 1 3 = 1 3

Beleza?

E é isso! Até a próxima!

Resposta

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