Calcule, quando existirem, os limites abaixo

o )   lim x → 0 + ⁡ sin 3 ⁡ ( x ) sin ⁡ 1 x x 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite aqui

lim x → 0 + ⁡ sin 3 ⁡ ( x ) sin ⁡ 1 x x 2

Mas seguindo nosso instinto vamos substituir x por 0 e encontramos

sin 3 ⁡ ( 0 ) sin ⁡ 1 0 0 2 = 0 0

Uma indeterminação! E agora, como sair dela?

Mas espera aí! Vamos lembrar com mais carinho do limite fundamental trigonométrico

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ A A = 1

Então vamos reescrever nosso limite

lim x → 0 + ⁡ sin 3 ⁡ x x 2   . x x . sin ⁡ 1 x

Sabemos também que o limite do produto é o produto dos limites. Assim temos o seguinte

lim x → 0 + ⁡ sin 3 ⁡ x x 3   .   lim x → 0 + ⁡ x . sin ⁡ 1 x

E podemos agrupar na mesma potência e colocar para fora do limite

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x   ⏝ = 1 3 .   lim x → 0 + ⁡ x . sin ⁡ 1 x

Tranquilo? Agora o que nos resta é calcular esse limite aqui

lim x → 0 + ⁡ x . sin ⁡ 1 x

Bora lá!

Passo 2

Nosso limite

lim x → 0 + ⁡ x . sin ⁡ 1 x

O limite do produto é o produto dos limites:

lim x → 0 + ⁡ x .   lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ 1 x

Sabemos que a função seno é limitada a - 1,1 , e também

lim x → 0 + ⁡ x = 0

Tranquilo? Sendo assim nosso limite fica

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x   ⏝ = 1 3 .   lim x → 0 + ⁡ x ⏝ = 0 .   lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ 1 x ⏝ l i m i t a d a = 0

E é isso! Até a próxima!

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