Calcule, quando existirem, os limites abaixo

i )   lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x csc ⁡ 6 x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite aqui

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x csc ⁡ 6 x

Mas seguindo nosso instinto vamos substituir x por 0 e encontramos

tan ⁡ 3 x csc ⁡ 6 x = 0 . ∞

Uma indeterminação! E agora, como sair dela?

A primeira coisa a se fazer é reescrever esse produto para termos 0 / 0 ou ∞ / ∞ , aí podemos aplicar uma regra bem legal! Então vamos lá! Lembrando que csc ⁡ x = 1 sin ⁡ x

tan ⁡ 3 x csc ⁡ 6 x = tan ⁡ 3 x sin ⁡ 6 x

Beleza? Agora sim, substituindo x por zero temos 0 / 0 !

Quando encontramos 0 / 0 em um limite, precisamos lembrar da Regra de L’Hospital:

lim x → a  ⁡ f ( x ) g ( x ) = ⏝ i n d e t e r m i n a ç ã o lim x → a  ⁡ f x ' g x '

Então a ideia é derivar a função que está no numerador, a que está no denominador e avaliar novamente o limite

Caso encontrarmos mais uma vez a indeterminação, basta derivar de novo! Vai fazendo isso até levantar por completo a indeterminação!

Bora lá!

Passo 2

Nosso limite

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x csc ⁡ 6 x = lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x sin ⁡ 6 x

Derivando em cima e embaixo temos

lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ 3 x . 3 cos ⁡ 6 x . 6

Tranquilo?

Agora vamos avaliar novamente o limite!

Passo 3

Retomando nosso limite

lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ 3 x . 3 cos ⁡ 6 x . 6

Agora vamos substituir x por 0

sec 2 ⁡ 0 . 3 cos ⁡ 0 . 6 = 3 6 = 1 2

Beleza?

E é isso! Até a próxima!

Resposta

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