Calcule lim x → - 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x + 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite dessa função quando x se aproxima muito de menos - 2 .

Repare que substituindo - 2 na função, temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Pra fugir dessa indeterminação, vamos buscar simplificar a função, racionalizando seu numerador.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos olhar nosso limite:

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x + 2

Vamos racionalizar o numerador multiplicando a função pelo conjugado x 2 + 12 + 4 x 2 + 12 + 4 . Fica assim:

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x + 2 ∙ x 2 + 12 + 4 x 2 + 12 + 4

Multiplicando termo a termo:

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 12 2 + 4 x 2 + 12 - 4 x 2 + 12 - 16 ( x + 2 ) ( x 2 + 12 + 4 )

Simplificando, temos:

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 12 - 16 ( x + 2 ) ( x 2 + 12 + 4 ) = lim x → - 2 ⁡ x 2 - 4 ( x + 2 ) ( x 2 + 12 + 4 )

Fatorando x 2 - 4 ali em cima, nós ficamos com:

lim x → - 2 ⁡ ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 12 + 4 )

Cortando os termos semelhantes:

lim x → - 2 ⁡ x - 2 x 2 + 12 + 4

Agora que conseguimos nos livrar da indeterminação, vamos substituir x = - 2 e verificar o valor do limite:

lim x → - 2 ⁡ x - 2 x 2 + 12 + 4 = ( - 2 ) - 2 ( - 2 ) 2 + 12 + 4

= - 4 16 + 4 = - 4 8

= - 1 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x + 2 = - 1 2

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