Calcule lim x → 0 ⁡ x x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite dessa função quando x se aproxima muito de menos 0 . Como a gente tem um módulo no denominador da nossa função, vamos precisar relembrar a definição de módulo:

x = x ,     s e   x ≥ 0 - x ,       s e   x < 0

Então, vamos para verificar o limite lim x → 0 ⁡ x x , vamos calcular os limites laterais:

lim x → 0 + ⁡ x x

lim x → 0 - ⁡ x x

levando em consideração as condições da função modular.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite lateral pela direita:

lim x → 0 + ⁡ x x

Quando x tende a 0 pela direita, x é positivo. Então, pela definição de módulo, temos:

lim x → 0 + ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ 1

Como o limite de uma constante é a própria constante, temos:

lim x → 0 + ⁡ x x = 1

Agora calculando o limite lateral pela esquerda, vamos ter:

lim x → 0 - ⁡ x x

Dessa forma, x tende a 0 por valores negativos. Logo:

lim x → 0 - ⁡ x - x = lim x → 0 - ⁡ - 1 = - 1

Sendo assim:

lim x → 0 - ⁡ x x = - 1

Como lim x → 0 + ⁡ x x ≠ lim x → 0 - ⁡ x x , o limite lim x → 0 ⁡ x x não existe.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ x x n ã o   e x i s t e

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